次の2次方程式について、与えられた条件を満たす定数 $m$ の値と2つの解を求める。 (1) $x^2 - mx + 32 = 0$ （1つの解が他の解の2倍） (2) $x^2 - 10x + 3m = 0$ （1つの解の2倍が他の解の3倍） (3) $x^2 - (m+2)x + 35 = 0$ （2つの解の差が2） (4) $x^2 - 30x + m = 0$ （1つの解が他の解の2乗）

1. 問題の内容

次の2次方程式について、与えられた条件を満たす定数 $m$ の値と2つの解を求める。

(1) $x^2 - mx + 32 = 0$ （1つの解が他の解の2倍）

(2) $x^2 - 10x + 3m = 0$ （1つの解の2倍が他の解の3倍）

(3) $x^2 - (m+2)x + 35 = 0$ （2つの解の差が2）

(4) $x^2 - 30x + m = 0$ （1つの解が他の解の2乗）

2. 解き方の手順

(1)

2つの解を $\alpha$、$2\alpha$ とおく。

解と係数の関係より、

$\alpha + 2\alpha = m$

$\alpha(2\alpha) = 32$

よって、

$3\alpha = m$

$2\alpha^2 = 32$

$\alpha^2 = 16$

$\alpha = \pm 4$

$\alpha = 4$ のとき、$m = 3\alpha = 12$。解は4と8。

$\alpha = -4$ のとき、$m = 3\alpha = -12$。解は-4と-8。

(2)

2つの解を $\alpha$、$2\alpha/3$ とおく。

解と係数の関係より、

$\alpha + \frac{2}{3}\alpha = 10$

$\alpha(\frac{2}{3}\alpha) = 3m$

よって、

$\frac{5}{3}\alpha = 10$

$\frac{2}{3}\alpha^2 = 3m$

$\alpha = 6$

$\frac{2}{3}(6)^2 = 3m$

$24 = 3m$

$m = 8$

解は6と4。

(3)

2つの解を $\alpha$、$\alpha + 2$ とおく。

解と係数の関係より、

$\alpha + (\alpha+2) = m+2$

$\alpha(\alpha+2) = 35$

よって、

$2\alpha + 2 = m+2$

$\alpha^2 + 2\alpha = 35$

$\alpha^2 + 2\alpha - 35 = 0$

$(\alpha + 7)(\alpha - 5) = 0$

$\alpha = -7$ または $\alpha = 5$

$\alpha = -7$ のとき、$m = 2\alpha = -14$。解は-7と-5。

$\alpha = 5$ のとき、$m = 2\alpha = 10$。解は5と7。

(4)

2つの解を $\alpha$、$\alpha^2$ とおく。

解と係数の関係より、

$\alpha + \alpha^2 = 30$

$\alpha(\alpha^2) = m$

よって、

$\alpha^2 + \alpha - 30 = 0$

$(\alpha + 6)(\alpha - 5) = 0$

$\alpha = -6$ または $\alpha = 5$

$\alpha = -6$ のとき、$m = \alpha^3 = (-6)^3 = -216$。解は-6と36。

$\alpha = 5$ のとき、$m = \alpha^3 = (5)^3 = 125$。解は5と25。

3. 最終的な答え

(1) $m=12$ のとき、解は4と8。$m=-12$ のとき、解は-4と-8。

(2) $m=8$ のとき、解は4と6。

(3) $m=-14$ のとき、解は-7と-5。$m=10$ のとき、解は5と7。

(4) $m=-216$ のとき、解は-6と36。$m=125$ のとき、解は5と25。