与えられた数学の問題を解く。問題は合計8問あり、多項式の割り算の余り、分数の計算、恒等式、複素数の計算、二次方程式の解の判別、解と係数の関係、因数定理など、様々な分野からの出題となっている。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解く。問題は合計8問あり、多項式の割り算の余り、分数の計算、恒等式、複素数の計算、二次方程式の解の判別、解と係数の関係、因数定理など、様々な分野からの出題となっている。

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解く。

(1) 多項式の割り算:

$3x^3 + 4x^2 - 7x + 1$ を $x^2 + 3x + 1$ で割る。

まず、$3x^3 + 4x^2 - 7x + 1$ を $x^2 + 3x + 1$ で割ると、商は $3x - 5$、余りは $5x + 6$ となる。

(2) 分数の計算:

$\frac{3}{x-6} - \frac{1}{x+1}$ を計算する。

$\frac{3}{x-6} - \frac{1}{x+1} = \frac{3(x+1) - (x-6)}{(x-6)(x+1)} = \frac{3x+3-x+6}{x^2 - 5x - 6} = \frac{2x+9}{x^2-5x-6}$

(3) 恒等式:

$x^2 + x + 2 = (x+3)^2 - a(x+3) + 3a - 7$ が $x$ についての恒等式となるような定数 $a$ の値を求める。

右辺を展開すると、$x^2 + 6x + 9 - ax - 3a + 3a - 7 = x^2 + (6-a)x + 2$

左辺と右辺の係数を比較して、$1 = 6 - a$ より $a = 5$

(4) 複素数の計算:

$\frac{1+2i}{3-i}$ を計算する。

$\frac{1+2i}{3-i} = \frac{(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \frac{3 + i + 6i - 2}{9 + 1} = \frac{1 + 7i}{10} = \frac{1}{10} + \frac{7}{10}i$

(5) 二次方程式の解の判別:

$x$ についての2次方程式 $x^2 - 3x + 4k = 0$ が虚数解をもつような定数 $k$ の値の範囲を求める。

判別式 $D = (-3)^2 - 4(1)(4k) = 9 - 16k$

虚数解をもつためには $D < 0$ である必要があるので、$9 - 16k < 0$

$16k > 9$ より $k > \frac{9}{16}$

(6) 解と係数の関係:

2次方程式 $4x^2 + 5x - 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha - \alpha\beta + \beta$ の値を求める。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -\frac{5}{4}$, $\alpha\beta = -\frac{3}{4}$

$\alpha - \alpha\beta + \beta = \alpha + \beta - \alpha\beta = -\frac{5}{4} - (-\frac{3}{4}) = -\frac{5}{4} + \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

(7) 多項式の割り算:

$x^3 - 3x^2 - 4x + 8$ を $x+2$ で割ったときの余りを求める。

剰余の定理より、$x = -2$ を代入すると、余りは

$(-2)^3 - 3(-2)^2 - 4(-2) + 8 = -8 - 12 + 8 + 8 = -4$

(8) 因数定理:

$x^3 - ax + 4$ が $x-1$ を因数にもつとき、定数 $a$ の値を求める。

因数定理より、$x = 1$ を代入すると、$1^3 - a(1) + 4 = 0$ となる。

$1 - a + 4 = 0$ より $a = 5$

3. 最終的な答え

(1) $5x+6$

(2) $\frac{2x+9}{x^2-5x-6}$

(3) $5$

(4) $\frac{1}{10} + \frac{7}{10}i$

(5) $k > \frac{9}{16}$

(6) $-\frac{1}{2}$

(7) $-4$

(8) $5$