長さ12mのロープで長方形の囲いを作るとき、囲った部分の面積が最も大きくなるのはどのような長方形のときか。

1. 問題の内容

長さ12mのロープで長方形の囲いを作るとき、囲った部分の面積が最も大きくなるのはどのような長方形のときか。

2. 解き方の手順

長方形の縦の長さを $x$ (m) とすると、横の長さは $\frac{12-2x}{2} = 6-x$ (m) と表せる。

長方形の面積 $S$ は、$S = x(6-x) = 6x - x^2$ となる。

$S$ を最大にする $x$ を求めるために、平方完成を行う。

$S = -x^2 + 6x = -(x^2 - 6x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x-3)^2 + 9$

$S$ が最大になるのは $x=3$ のときで、そのときの面積は9である。

$x = 3$ のとき、横の長さは $6-x = 6-3 = 3$ となる。

したがって、縦の長さと横の長さが等しいとき、つまり正方形のときに面積が最大になる。

3. 最終的な答え

正方形のとき。