関数 $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 5x + 1$ の導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $x = -3$ と $x = -2$ における $f'(x)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 5x + 1$ の導関数 $f'(x)$ を求め、さらに $x = -3$ と $x = -2$ における $f'(x)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f(x) = -x^3 + 3x^2 - 5x + 1$ を微分する。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3) + \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(-5x) + \frac{d}{dx}(1)$

$f'(x) = -3x^2 + 6x - 5$

次に、$x = -3$ のときの $f'(x)$ の値を計算する。

$f'(-3) = -3(-3)^2 + 6(-3) - 5$

$f'(-3) = -3(9) - 18 - 5$

$f'(-3) = -27 - 18 - 5$

$f'(-3) = -50$

最後に、$x = -2$ のときの $f'(x)$ の値を計算する。

$f'(-2) = -3(-2)^2 + 6(-2) - 5$

$f'(-2) = -3(4) - 12 - 5$

$f'(-2) = -12 - 12 - 5$

$f'(-2) = -29$

3. 最終的な答え

導関数：$f'(x) = -3x^2 + 6x - 5$

$x = -3$ のとき、傾きは $-50$

$x = -2$ のとき、傾きは $-29$