点Oを中心とする半径2の円周上に2点A, Bがある。$AB = 2\sqrt{3}$である。 (1) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$の値を求める。 (2) (1)の結果を使って、$\triangle AOB$における$\angle AOB$を求める。

幾何学ベクトル内積余弦定理三角関数角度
2025/3/6

1. 問題の内容

点Oを中心とする半径2の円周上に2点A, Bがある。AB=23AB = 2\sqrt{3}である。
(1) OAOB\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}の値を求める。
(2) (1)の結果を使って、AOB\triangle AOBにおけるAOB\angle AOBを求める。

2. 解き方の手順

(1) OAOB\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}の値を求める。
余弦定理より、AB2=OA2+OB22OAOBcosAOBAB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos{\angle AOB}
OA=2,OB=2,AB=23OA = 2, OB = 2, AB = 2\sqrt{3}を代入すると
(23)2=22+22222cosAOB(2\sqrt{3})^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos{\angle AOB}
12=4+48cosAOB12 = 4 + 4 - 8 \cos{\angle AOB}
8cosAOB=48 \cos{\angle AOB} = -4
cosAOB=12\cos{\angle AOB} = -\frac{1}{2}
OAOB=OAOBcosAOB=22(12)=2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |OA| |OB| \cos{\angle AOB} = 2 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2
(2) (1)の結果を使って、AOB\triangle AOBにおけるAOB\angle AOBを求める。
(1)よりcosAOB=12\cos{\angle AOB} = -\frac{1}{2}
0AOB1800^\circ \leq \angle AOB \leq 180^\circであるから、AOB=120\angle AOB = 120^\circ

3. 最終的な答え

(1) OAOB=2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -2
(2) AOB=120\angle AOB = 120^\circ

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