点Oを中心とする半径2の円周上に2点A, Bがある。$AB = 2\sqrt{3}$である。 (1) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$の値を求める。 (2) (1)の結果を使って、$\triangle AOB$における$\angle AOB$を求める。

1. 問題の内容

点Oを中心とする半径2の円周上に2点A, Bがある。$AB = 2\sqrt{3}$である。

(1) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$の値を求める。

(2) (1)の結果を使って、$\triangle AOB$における$\angle AOB$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$の値を求める。

余弦定理より、$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos{\angle AOB}$

$OA = 2, OB = 2, AB = 2\sqrt{3}$を代入すると

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos{\angle AOB}$

$12 = 4 + 4 - 8 \cos{\angle AOB}$

$8 \cos{\angle AOB} = -4$

$\cos{\angle AOB} = -\frac{1}{2}$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |OA| |OB| \cos{\angle AOB} = 2 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$

(2) (1)の結果を使って、$\triangle AOB$における$\angle AOB$を求める。

(1)より$\cos{\angle AOB} = -\frac{1}{2}$

$0^\circ \leq \angle AOB \leq 180^\circ$であるから、$\angle AOB = 120^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -2$

(2) $\angle AOB = 120^\circ$