$a>1$ のとき、関数 $y=(x-a)^2+1$ ($0 \le x \le 1$) の最大値を求める。

1. 問題の内容

$a>1$ のとき、関数 $y=(x-a)^2+1$ ($0 \le x \le 1$) の最大値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた関数は、$x$ の2次関数であり、グラフは下に凸の放物線である。軸は $x=a$ である。定義域は $0 \le x \le 1$ である。$a > 1$ であるので、軸 $x=a$ は定義域の右側に位置する。したがって、定義域内で $x$ が最小のときに関数値は最大となる。

$a>1$ より、軸 $x=a$ は定義域 $0 \le x \le 1$ の外側にあるため、定義域内で $x$ が最小のときに $y$ は最大となる。

つまり、$x=0$ のとき、$y$ は最大となる。

$x=0$ を関数に代入して最大値を求める。

$y = (0-a)^2 + 1 = a^2 + 1$

3. 最終的な答え

$a^2 + 1$