関数 $y = -(x-a)^2 + a$ の $x \le 3$ における最大値を、$a < 3$ のときと $a \ge 3$ のときで場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -(x-a)^2 + a$ の $x \le 3$ における最大値を、$a < 3$ のときと $a \ge 3$ のときで場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成した形から、グラフの軸が $x = a$ であることがわかります。上に凸の放物線なので、軸が定義域の $x \le 3$ に含まれるかどうかが重要になります。

* $a < 3$ のとき

軸 $x=a$ が $x \le 3$ の範囲にあるので、頂点 $x=a$ で最大となります。最大値は $y = -(a-a)^2 + a = a$ です。

* $a \ge 3$ のとき

軸 $x=a$ が $x \le 3$ の範囲の外にあるので、範囲内で$x=3$のとき最大となります。このとき、$x=3$を代入して、最大値は $y = -(3-a)^2 + a = -(9 - 6a + a^2) + a = -a^2 + 7a - 9$ です。

3. 最終的な答え

$a < 3$ のとき、最大値は $a$

$a \ge 3$ のとき、最大値は $-a^2 + 7a - 9$