$a > 0$ を満たす定数 $a$ に対し、$x$ の関数 $y = (x - a)^2 + 1$ ($0 \le x \le 1$) の最小値を求める問題です。場合分けをして、最小値を求め、空欄を埋めます。

1. 問題の内容

$a > 0$ を満たす定数 $a$ に対し、$x$ の関数 $y = (x - a)^2 + 1$ ($0 \le x \le 1$) の最小値を求める問題です。場合分けをして、最小値を求め、空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

関数 $y = (x - a)^2 + 1$ は、$x = a$ を軸とする下に凸な放物線です。定義域 $0 \le x \le 1$ における最小値を求めます。

(i) $0 < a \le 1$ のとき：

軸 $x = a$ が定義域 $0 \le x \le 1$ に含まれるので、最小値は $x = a$ のときの $y$ の値、つまり $y = (a - a)^2 + 1 = 1$ となります。

(ii) $a > 1$ のとき：

軸 $x = a$ が定義域 $0 \le x \le 1$ の外にあるので、定義域の左端 $x = 0$ で最小値をとります。このときの $y$ の値は $y = (0 - a)^2 + 1 = a^2 + 1$ となります。

3. 最終的な答え

* $0 < a \le 1$ のとき、最小値は $1$

* $a > 1$ のとき、最小値は $a^2 + 1$