与えられた複数の方程式を解き、$x$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた複数の方程式を解き、$x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

各方程式を順番に解いていく。

(1) $x(x-2) = -5x-1$

展開して整理する。

$x^2 - 2x = -5x - 1$

$x^2 + 3x + 1 = 0$

解の公式を使う。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

(2) $x(x+5) - 3(x+8) = 0$

展開して整理する。

$x^2 + 5x - 3x - 24 = 0$

$x^2 + 2x - 24 = 0$

因数分解する。

$(x+6)(x-4) = 0$

$x = -6, 4$

(3) $(x+3)^2 - 2x = 5$

展開して整理する。

$x^2 + 6x + 9 - 2x = 5$

$x^2 + 4x + 4 = 0$

因数分解する。

$(x+2)^2 = 0$

$x = -2$

(4) $(x-2)(x+3) - 2x - 6 = 0$

展開して整理する。

$x^2 + 3x - 2x - 6 - 2x - 6 = 0$

$x^2 - x - 12 = 0$

因数分解する。

$(x-4)(x+3) = 0$

$x = 4, -3$

(5) $(x+1)(x-3) = x+2$

展開して整理する。

$x^2 - 3x + x - 3 = x + 2$

$x^2 - 2x - 3 = x + 2$

$x^2 - 3x - 5 = 0$

解の公式を使う。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9+20}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$

(6) $(x+2)(x-3) - 2x(x+3) = 0$

展開して整理する。

$x^2 - 3x + 2x - 6 - 2x^2 - 6x = 0$

$-x^2 - 7x - 6 = 0$

$x^2 + 7x + 6 = 0$

因数分解する。

$(x+1)(x+6) = 0$

$x = -1, -6$

(7) $(x+1)(3x-2) = 3x-1$

展開して整理する。

$3x^2 - 2x + 3x - 2 = 3x - 1$

$3x^2 + x - 2 = 3x - 1$

$3x^2 - 2x - 1 = 0$

因数分解する。

$(3x+1)(x-1) = 0$

$x = -\frac{1}{3}, 1$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

(2) $x = -6, 4$

(3) $x = -2$

(4) $x = 4, -3$

(5) $x = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$

(6) $x = -1, -6$

(7) $x = -\frac{1}{3}, 1$