2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ が与えられています（ただし、$a$ は正の定数）。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。 (2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値が $8$ であるとき、$a$ の値を求める。また、このとき、$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求める。 (3) $a$ を (2) で求めた値とし、$t > \frac{1}{2}$ を満たす定数 $t$ を考える。$t \le x \le t+3$ における $f(x)$ の最大値を $M$ 、最小値を $m$ とする。このとき、$M$ と $m$ を $t$ を用いて表し、$M - m = 3$ となるような $t$ の値を求める。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ が与えられています（ただし、$a$ は正の定数）。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。

(2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値が $8$ であるとき、$a$ の値を求める。また、このとき、$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求める。

(3) $a$ を (2) で求めた値とし、$t > \frac{1}{2}$ を満たす定数 $t$ を考える。$t \le x \le t+3$ における $f(x)$ の最大値を $M$ 、最小値を $m$ とする。このとき、$M$ と $m$ を $t$ を用いて表し、$M - m = 3$ となるような $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

$f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a = (x - 2)^2 - 4 + a^2 - a$

したがって、頂点の座標は $(2, a^2 - a - 4)$ である。

(2) $0 \le x \le 3$ における最小値が $8$ であるとき、$a$ の値を求める。

軸 $x=2$ は区間 $0 \le x \le 3$ に含まれるので、$x = 2$ で最小値をとる。

$f(2) = a^2 - a - 4 = 8$

$a^2 - a - 12 = 0$

$(a - 4)(a + 3) = 0$

$a$ は正の定数なので、$a = 4$

このとき、$f(x) = x^2 - 4x + 12$

$f(0) = 12$, $f(3) = 9 - 12 + 12 = 9$

したがって、最大値は $12$ である。

(3) $a = 4$ なので、$f(x) = x^2 - 4x + 12 = (x - 2)^2 + 8$

$t > \frac{1}{2}$ において、$t \le x \le t+3$ での $f(x)$ の最大値 $M$ 、最小値 $m$ を求める。

* 軸 $x = 2$ が区間 $[t, t+3]$ に含まれる場合、つまり $t \le 2 \le t+3$ 、すなわち $-1 \le t \le 2$ の場合:

$m = f(2) = 8$

$M$ は $f(t)$ または $f(t+3)$ の大きい方である。

$f(t) = t^2 - 4t + 12$

$f(t+3) = (t+3)^2 - 4(t+3) + 12 = t^2 + 6t + 9 - 4t - 12 + 12 = t^2 + 2t + 9$

$f(t) - f(t+3) = t^2 - 4t + 12 - (t^2 + 2t + 9) = -6t + 3$

$f(t) > f(t+3) \Leftrightarrow -6t + 3 > 0 \Leftrightarrow t < \frac{1}{2}$

$f(t) < f(t+3) \Leftrightarrow -6t + 3 < 0 \Leftrightarrow t > \frac{1}{2}$

$M - m = 3$ より、$M = m + 3 = 11$

(i) $\frac{1}{2} < t \le 2$ のとき、$M = f(t+3) = t^2 + 2t + 9 = 11$

$t^2 + 2t - 2 = 0$

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

$t > \frac{1}{2}$ より、$t = -1 + \sqrt{3}$

(ii) $-1 \le t < \frac{1}{2}$ のとき、$M = f(t) = t^2 - 4t + 12 = 11$

$t^2 - 4t + 1 = 0$

$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

$-1 \le t < \frac{1}{2}$ より、$t = 2 - \sqrt{3}$

* 軸 $x=2$ が区間 $[t, t+3]$ に含まれない場合:

(i) $t+3 < 2$ 、すなわち $t < -1$ の場合: これは $t > \frac{1}{2}$ に反するので不適。

(ii) $t > 2$ の場合:

$f(t) = t^2 - 4t + 12$

$f(t+3) = t^2 + 2t + 9$

$f'(x) = 2x - 4 > 0$ ($x > 2$ なので)

したがって、区間 $[t, t+3]$ で $f(x)$ は増加関数となり、最小値は $m = f(t) = t^2 - 4t + 12$ 、最大値は $M = f(t+3) = t^2 + 2t + 9$ となる。

$M - m = (t^2 + 2t + 9) - (t^2 - 4t + 12) = 6t - 3 = 3$

$6t = 6$

$t = 1$

これは $t > 2$ に反するので不適。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(2, a^2 - a - 4)$

(2) $a = 4$ 、最大値: $12$

(3)

- $t > \frac{1}{2}$ のとき

$t \le 2$のとき

　　　　- 1/2 < t <= 2のとき $M = t^2 + 2t + 9, m = 8$

- -1 <= t <= 1/2 のとき $M = t^2 - 4t + 12, m = 8$

$t > 2$のとき

　　　 $M = t^2 + 2t + 9, m = t^2 - 4t + 12$

- $t = -1 + \sqrt{3}$ , $t = 2 - \sqrt{3}$