$a, b$ は実数とする。命題「$a = b \Rightarrow a^2 = b^2$」の真偽を調べ、偽である場合には反例をあげる。

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2

1. (1) の問題

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。命題「$a = b \Rightarrow a^2 = b^2$」の真偽を調べ、偽である場合には反例をあげる。

2. 解き方の手順

この命題は「$a = b$ ならば $a^2 = b^2$ である」という意味です。

$a = b$ のとき、両辺をそれぞれ2乗すると、$a^2 = b^2$ となります。

したがって、この命題は常に成り立ちます。

3. 最終的な答え

真

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2

1. (2) の問題

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。命題「$a \ge b \Rightarrow \frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$」の真偽を調べ、偽である場合には反例をあげる。

2. 解き方の手順

この命題は「$a \ge b$ ならば $\frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$ である」という意味です。

この命題は、a, bが正の数である場合や、負の数である場合には成り立ちます。

しかし、a, bが異符号であったり、$a, b$ のいずれかが0である場合には成り立ちません。

反例として、$a = 1, b = -1$ を考えます。

このとき、$a \ge b$ （$1 \ge -1$）は成り立ちますが、$\frac{1}{a} = 1, \frac{1}{b} = -1$ となり、$\frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$ （$1 \le -1$）は成り立ちません。

3. 最終的な答え

偽。反例: $a=1, b=-1$