与えられた数学の問題は、以下の6つの式を因数分解することです。 (1) (画像に写っていない) (2) $2(x-y)^2 - (x-y) - 1$ (3) $x^4 + 5x^2 - 6$ (4) $x^2 - 16$ (5) $x^2 + 4xy + 3y^2 + x + 7y - 6$ (6) $3x^2 + 5xy + 2y^2 + x + 2y - 4$ ここでは、問題(3), (4), (5), (6)を解きます。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、以下の6つの式を因数分解することです。

(1) (画像に写っていない)

(2) $2(x-y)^2 - (x-y) - 1$

(3) $x^4 + 5x^2 - 6$

(4) $x^2 - 16$

(5) $x^2 + 4xy + 3y^2 + x + 7y - 6$

(6) $3x^2 + 5xy + 2y^2 + x + 2y - 4$

ここでは、問題(3), (4), (5), (6)を解きます。

2. 解き方の手順

(3) $x^4 + 5x^2 - 6$

$x^2 = X$ と置くと、

$X^2 + 5X - 6$

$= (X + 6)(X - 1)$

$X$ を $x^2$ に戻すと、

$(x^2 + 6)(x^2 - 1)$

$= (x^2 + 6)(x + 1)(x - 1)$

(4) $x^2 - 16$

$x^2 - 16$

$= x^2 - 4^2$

$= (x + 4)(x - 4)$

(5) $x^2 + 4xy + 3y^2 + x + 7y - 6$

$x$ について整理すると、

$x^2 + (4y + 1)x + (3y^2 + 7y - 6)$

$3y^2 + 7y - 6 = (3y - 2)(y + 3)$ なので、

$x^2 + (4y + 1)x + (3y - 2)(y + 3)$

$= (x + (3y - 2))(x + (y + 3))$

$= (x + 3y - 2)(x + y + 3)$

(6) $3x^2 + 5xy + 2y^2 + x + 2y - 4$

$3x^2 + 5xy + 2y^2 = (3x + 2y)(x + y)$ なので、

$(3x + 2y + a)(x + y + b)$ とおく。

$3x^2 + 5xy + 2y^2 + (3b + a)x + (2b + a)y + ab$

係数を比較して、$3b + a = 1$、$2b + a = 2$、$ab = -4$

$b = -1$、$a = 4$ なので、

$(3x + 2y + 4)(x + y - 1)$

3. 最終的な答え

(3) $(x^2 + 6)(x + 1)(x - 1)$

(4) $(x + 4)(x - 4)$

(5) $(x + 3y - 2)(x + y + 3)$

(6) $(3x + 2y + 4)(x + y - 1)$