$x^2 - 5x + 6$ が素数となるような整数 $x$ の値をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$x^2 - 5x + 6$ が素数となるような整数 $x$ の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 5x + 6$ を因数分解します。

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

$(x-2)(x-3)$ が素数となるためには、以下の2つのケースが考えられます。

ケース1: $x - 2 = 1$ かつ $x - 3$ が素数

$x - 2 = 1$ より、 $x = 3$

このとき、 $x - 3 = 3 - 3 = 0$ となり、0 は素数ではないので、このケースは不適。

ケース2: $x - 3 = 1$ かつ $x - 2$ が素数

$x - 3 = 1$ より、 $x = 4$

このとき、 $x - 2 = 4 - 2 = 2$ となり、2 は素数なので、 $x = 4$ は条件を満たす。

ケース3: $x - 2 = -1$ かつ $x - 3$ が負の素数

$x - 2 = -1$ より、$x = 1$

このとき、$x - 3 = 1 - 3 = -2$ となり、-2 は負の素数なので、$x=1$ は条件を満たす。

ケース4: $x - 3 = -1$ かつ $x - 2$ が負の素数

$x - 3 = -1$ より、$x = 2$

このとき、$x - 2 = 2 - 2 = 0$ となり、0は素数ではないので、このケースは不適。

よって、$x=1$ のとき、$(1-2)(1-3) = (-1)(-2) = 2$ (素数)

$x=4$ のとき、$(4-2)(4-3) = (2)(1) = 2$ (素数)

3. 最終的な答え

$x = 1, 4$