2次関数 $y = x^2 - 2ax + 1$ ($0 \le x \le 1$) について、最小値とその時の $x$ の値、および最大値とその時の $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + 1$ ($0 \le x \le 1$) について、最小値とその時の $x$ の値、および最大値とその時の $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + 1 = (x-a)^2 - a^2 + 1$

この式から、この2次関数の軸は $x=a$ であることがわかります。

定義域は $0 \le x \le 1$ なので、軸 $x=a$ の位置によって、最小値と最大値をとる $x$ の値が変わります。

(1) 最小値を求める場合:

軸 $x=a$ の位置によって場合分けします。

(i) $a < 0$ のとき:

$0 \le x \le 1$ において、関数は単調増加なので、$x=0$ で最小値をとります。

最小値は $y = 0^2 - 2a(0) + 1 = 1$

よって、最小値は1 ($x=0$ のとき)。

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき:

$x=a$ で最小値をとります。

最小値は $y = (a-a)^2 - a^2 + 1 = -a^2 + 1$

よって、最小値は $-a^2 + 1$ ($x=a$ のとき)。

(iii) $a > 1$ のとき:

$0 \le x \le 1$ において、関数は単調減少なので、$x=1$ で最小値をとります。

最小値は $y = 1^2 - 2a(1) + 1 = 2 - 2a$

よって、最小値は $2-2a$ ($x=1$ のとき)。

(2) 最大値を求める場合:

軸 $x=a$ の位置によって場合分けします。軸が定義域の中央 $x=1/2$ に対して、どちら側にあるかを考慮します。

(i) $a \le \frac{1}{2}$ のとき:

$x=1$ で最大値をとります。

最大値は $y = 1^2 - 2a(1) + 1 = 2 - 2a$

よって、最大値は $2 - 2a$ ($x=1$ のとき)。

(ii) $a > \frac{1}{2}$ のとき:

$x=0$ で最大値をとります。

最大値は $y = 0^2 - 2a(0) + 1 = 1$

よって、最大値は $1$ ($x=0$ のとき)。

3. 最終的な答え

(1) 最小値:

- $a < 0$ のとき：1 ($x=0$)

- $0 \le a \le 1$ のとき：$-a^2 + 1$ ($x=a$)

- $a > 1$ のとき：$2-2a$ ($x=1$)

(2) 最大値:

- $a \le \frac{1}{2}$ のとき：$2 - 2a$ ($x=1$)

- $a > \frac{1}{2}$ のとき：1 ($x=0$)