以下の2つの2次関数について、最大値または最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。 (1) $y = 3(x-1)^2 - 4$ (2) $y = -x^2 - 8x + 7$

1. 問題の内容

以下の2つの2次関数について、最大値または最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。

(1) $y = 3(x-1)^2 - 4$

(2) $y = -x^2 - 8x + 7$

2. 解き方の手順

(1) $y = 3(x-1)^2 - 4$ の場合：

この関数は平方完成された形 $y = a(x-p)^2 + q$ で表されています。

この形から、頂点の座標は $(p, q)$ であることがわかります。

この問題の場合、頂点の座標は $(1, -4)$ です。

$a = 3 > 0$ であるため、このグラフは下に凸の放物線であり、最小値を持ちます。

最小値は頂点の $y$ 座標で、$-4$ です。

最小値を取る $x$ の値は頂点の $x$ 座標で、$1$ です。

最大値は存在しません。

(2) $y = -x^2 - 8x + 7$ の場合：

この関数を平方完成します。

$y = -(x^2 + 8x) + 7$

$y = -(x^2 + 8x + 16 - 16) + 7$

$y = -((x + 4)^2 - 16) + 7$

$y = -(x + 4)^2 + 16 + 7$

$y = -(x + 4)^2 + 23$

頂点の座標は $(-4, 23)$ です。

係数が $-1 < 0$ であるため、このグラフは上に凸の放物線であり、最大値を持ちます。

最大値は頂点の $y$ 座標で、$23$ です。

最大値を取る $x$ の値は頂点の $x$ 座標で、$-4$ です。

最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値：$y = -4$ ($x = 1$ のとき), 最大値：なし

(2) 最大値：$y = 23$ ($x = -4$ のとき), 最小値：なし