次の関数の最大値、最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めます。 (1) $y = x^2 + 4x + 1$ ($-3 \le x \le 0$) (2) $y = -2x^2 - 4x + 1$ ($-2 \le x \le 1$)

はい、承知いたしました。問題文のOCR結果から、以下の問題について解答します。

1. 問題の内容

次の関数の最大値、最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めます。

(1) $y = x^2 + 4x + 1$ ($-3 \le x \le 0$)

(2) $y = -2x^2 - 4x + 1$ ($-2 \le x \le 1$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 4x + 1$ について

まず、平方完成を行います。

$y = (x^2 + 4x) + 1 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 1 = (x + 2)^2 - 3$

頂点は $(-2, -3)$ です。

定義域 $-3 \le x \le 0$ におけるグラフを考えます。

$x = -2$ のとき $y = -3$ (最小値)

$x = 0$ のとき $y = 0^2 + 4(0) + 1 = 1$

$x = -3$ のとき $y = (-3)^2 + 4(-3) + 1 = 9 - 12 + 1 = -2$

したがって、

$x = 0$ のとき最大値 $1$

$x = -2$ のとき最小値 $-3$

(2) $y = -2x^2 - 4x + 1$ について

まず、平方完成を行います。

$y = -2(x^2 + 2x) + 1 = -2(x^2 + 2x + 1) + 2 + 1 = -2(x + 1)^2 + 3$

頂点は $(-1, 3)$ です。

定義域 $-2 \le x \le 1$ におけるグラフを考えます。

$x = -1$ のとき $y = 3$ (最大値)

$x = 1$ のとき $y = -2(1)^2 - 4(1) + 1 = -2 - 4 + 1 = -5$

$x = -2$ のとき $y = -2(-2)^2 - 4(-2) + 1 = -8 + 8 + 1 = 1$

したがって、

$x = -1$ のとき最大値 $3$

$x = 1$ のとき最小値 $-5$

3. 最終的な答え

(1)

最大値: $1$ ($x=0$ のとき)

最小値: $-3$ ($x=-2$ のとき)

(2)

最大値: $3$ ($x=-1$ のとき)

最小値: $-5$ ($x=1$ のとき)