与えられた式 $(x+y)^2 - 6(x+y) + 8$ を因数分解してください。

## 問題17 (1)

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y)^2 - 6(x+y) + 8$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$x+y = A$ とおくと、与えられた式は $A^2 - 6A + 8$ となります。

これは $A$ についての二次式なので、因数分解できます。

$A^2 - 6A + 8 = (A-2)(A-4)$

$A$ を $x+y$ に戻すと、

$(x+y-2)(x+y-4)$

3. 最終的な答え

$(x+y-2)(x+y-4)$

## 問題17 (2)

1. 問題の内容

与えられた式 $2(a-b)^2 - 3(a-b) + 1$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$a-b = A$ とおくと、与えられた式は $2A^2 - 3A + 1$ となります。

これは $A$ についての二次式なので、因数分解できます。

$2A^2 - 3A + 1 = (2A - 1)(A - 1)$

$A$ を $a-b$ に戻すと、

$(2(a-b) - 1)(a-b - 1) = (2a-2b-1)(a-b-1)$

3. 最終的な答え

$(2a-2b-1)(a-b-1)$

## 問題17 (3)

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-y-1)^2 - 6(x-y-1) + 9$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$x-y-1 = A$ とおくと、与えられた式は $A^2 - 6A + 9$ となります。

これは $A$ についての二次式なので、因数分解できます。

$A^2 - 6A + 9 = (A-3)^2$

$A$ を $x-y-1$ に戻すと、

$(x-y-1-3)^2 = (x-y-4)^2$

3. 最終的な答え

$(x-y-4)^2$

## 問題17 (4)

1. 問題の内容

与えられた式 $4(a+b+1)^2 - 5(a+b+1) - 6$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$a+b+1 = A$ とおくと、与えられた式は $4A^2 - 5A - 6$ となります。

これは $A$ についての二次式なので、因数分解できます。

$4A^2 - 5A - 6 = (4A + 3)(A - 2)$

$A$ を $a+b+1$ に戻すと、

$(4(a+b+1) + 3)((a+b+1) - 2) = (4a+4b+4+3)(a+b+1-2) = (4a+4b+7)(a+b-1)$

3. 最終的な答え

$(4a+4b+7)(a+b-1)$

## 問題18 (1)

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 7x^2 - 18$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$x^2 = A$ とおくと、与えられた式は $A^2 - 7A - 18$ となります。

これは $A$ についての二次式なので、因数分解できます。

$A^2 - 7A - 18 = (A - 9)(A + 2)$

$A$ を $x^2$ に戻すと、

$(x^2 - 9)(x^2 + 2)$

さらに、$x^2 - 9$ は $(x-3)(x+3)$ と因数分解できるので、

$(x-3)(x+3)(x^2+2)$

3. 最終的な答え

$(x-3)(x+3)(x^2+2)$

## 問題18 (2)

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 256$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$x^4 - 256 = (x^2)^2 - 16^2$ と見ると、これは平方の差なので、

$(x^2 - 16)(x^2 + 16)$

さらに、$x^2 - 16$ は $(x-4)(x+4)$ と因数分解できるので、

$(x-4)(x+4)(x^2+16)$

3. 最終的な答え

$(x-4)(x+4)(x^2+16)$

## 問題18 (3)

1. 問題の内容

与えられた式 $81x^4 - 18x^2 + 1$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式は $(9x^2)^2 - 2(9x^2)(1) + 1^2$ と見ると、これは $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の形になっているので、

$(9x^2 - 1)^2$

さらに、$9x^2 - 1$ は $(3x)^2 - 1^2$ と見ると、平方の差なので、 $(3x-1)(3x+1)$ と因数分解できる。

したがって、

$((3x-1)(3x+1))^2 = (3x-1)^2(3x+1)^2$

3. 最終的な答え

$(3x-1)^2(3x+1)^2$

## 問題18 (4)

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^4 - 13x^2 + 9$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$x^2 = A$ とおくと、与えられた式は $4A^2 - 13A + 9$ となります。

これは $A$ についての二次式なので、因数分解できます。

$4A^2 - 13A + 9 = (4A - 9)(A - 1)$

$A$ を $x^2$ に戻すと、

$(4x^2 - 9)(x^2 - 1)$

さらに、$4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2$ と $x^2 - 1$ はそれぞれ平方の差なので、因数分解できる。

$(2x-3)(2x+3)(x-1)(x+1)$

3. 最終的な答え

$(2x-3)(2x+3)(x-1)(x+1)$

## 問題18 (5)

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 + 3x)^2 - 6(x^2 + 3x) - 16$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$x^2 + 3x = A$ とおくと、与えられた式は $A^2 - 6A - 16$ となります。

これは $A$ についての二次式なので、因数分解できます。

$A^2 - 6A - 16 = (A - 8)(A + 2)$

$A$ を $x^2 + 3x$ に戻すと、

$(x^2 + 3x - 8)(x^2 + 3x + 2)$

$x^2 + 3x + 2$ は $(x+1)(x+2)$ と因数分解できるので、

$(x^2+3x-8)(x+1)(x+2)$

3. 最終的な答え

$(x^2+3x-8)(x+1)(x+2)$

## 問題18 (6)

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 - x)^2 - 22(x^2 - x) + 40$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

$x^2 - x = A$ とおくと、与えられた式は $A^2 - 22A + 40$ となります。

これは $A$ についての二次式なので、因数分解できます。

$A^2 - 22A + 40 = (A - 2)(A - 20)$

$A$ を $x^2 - x$ に戻すと、

$(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 20)$

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ , $x^2 - x - 20 = (x-5)(x+4)$ なので、

$(x-2)(x+1)(x-5)(x+4)$

3. 最終的な答え

$(x-2)(x+1)(x-5)(x+4)$