初項が2、公差が5の等差数列 $\{a_n\}$ と、初項が2、公比が3の等比数列 $\{b_n\}$ が与えられている。以下の問いに答える問題です。 (1) $a_n$ の一般項を求める。 (2) $a_n$ のうち、2桁の自然数である項の総和 $S$ を求める。 (3) $c_n = a_n b_n$, $T_n = \sum_{k=1}^n c_k$ とするとき、$T_n$ を求める。$n \ge 2$ とする。

1. 問題の内容

初項が2、公差が5の等差数列 $\{a_n\}$ と、初項が2、公比が3の等比数列 $\{b_n\}$ が与えられている。以下の問いに答える問題です。

(1) $a_n$ の一般項を求める。

(2) $a_n$ のうち、2桁の自然数である項の総和 $S$ を求める。

(3) $c_n = a_n b_n$, $T_n = \sum_{k=1}^n c_k$ とするとき、$T_n$ を求める。$n \ge 2$ とする。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。初項が2、公差が5なので、

$a_n = 2 + (n-1) \cdot 5 = 5n - 3$

したがって、空欄1は5、空欄2は3になる。

(2) $a_n = 5n - 3$ が2桁の自然数となる条件を求める。

$10 \le 5n - 3 \le 99$

$13 \le 5n \le 102$

$2.6 \le n \le 20.4$

$n$ は整数なので、$3 \le n \le 20$ である。

したがって、$a_3$ から $a_{20}$ までの和を求めればよい。

$S = \sum_{n=3}^{20} (5n - 3) = 5 \sum_{n=3}^{20} n - \sum_{n=3}^{20} 3$

$\sum_{n=3}^{20} n = \sum_{n=1}^{20} n - \sum_{n=1}^{2} n = \frac{20 \cdot 21}{2} - \frac{2 \cdot 3}{2} = 210 - 3 = 207$

$\sum_{n=3}^{20} 3 = 3(20 - 3 + 1) = 3(18) = 54$

$S = 5(207) - 54 = 1035 - 54 = 981$

したがって、空欄3は9、空欄4は8、空欄5は1になる。

(3) $c_n = a_n b_n = (5n - 3) \cdot 2 \cdot 3^{n-1} = (10n - 6) 3^{n-1}$

$T_n = \sum_{k=1}^n c_k = \sum_{k=1}^n (10k - 6) 3^{k-1}$

$T_n = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n$ より

$(1 - 3) T_n = a_1b_1 + (a_2b_2 - a_1b_2) + (a_3b_3 - a_2b_3) + \dots + (a_nb_n - a_{n-1}b_n) - a_nb_{n+1}$

$a_n b_{n+1} - a_{n-1} b_n = [5n-3] \cdot 2 \cdot 3^{n} - [5(n-1)-3] \cdot 2 \cdot 3^{n-1} = 10n \cdot 3^n - 6 \cdot 3^n - [5n - 8] \cdot 2 \cdot 3^{n-1} = 10n \cdot 3^n - 6 \cdot 3^n - (10n - 16) \cdot 3^{n-1}$

$= 3^{n-1}[30n - 18 - 10n + 16] = 3^{n-1}[20n - 2] = 2(10n - 1) 3^{n-1}$

与えられた式から

$(1-3)T_n = T_n - 3T_n = a_1b_1 + (a_2b_2 + a_3b_3 + ... + a_nb_n) - 3(a_1b_1+ a_2b_2 + a_3b_3 + ... + a_{n-1}b_{n-1}) = a_1b_1 + (a_2 - 3 a_1) b_2 + (a_3-3a_2) b_3 + \cdots + (a_n - 3a_{n-1}) b_n - 3a_n b_n$

$-2 T_n = a_1 b_1 + \sum_{k=2}^n (a_k - 3a_{k-1}) b_k = (5*1-3)*2 + \sum_{k=2}^n (5k-3 - 3(5(k-1) -3)) 2 3^{k-1}$

$-2 T_n = 4 + \sum_{k=2}^n (5k-3 - 15k + 15 + 9) 2 3^{k-1}$

$-2 T_n = 4 + \sum_{k=2}^n (-10k + 21) 2 3^{k-1} = 4 + 2 \sum_{k=2}^n (-10k + 21) 3^{k-1}$

$T_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... a_n b_n = 4 + 28 \cdot 3 + (5*3 - 3) \cdot 2 \cdot 3^2 + (5*4 - 3) \cdot 2 \cdot 3^3 + \cdots$

$-2T_n = 4 + \sum_{k=2}^n (5k - 3 -3 (5(k-1)-3)) 2 \cdot 3^{k-1} = 4 + \sum_{k=2}^n (5k - 3 - 15k + 15 + 9) 2 \cdot 3^{k-1} = 4 + \sum_{k=2}^n (-10k+21) 2 \cdot 3^{k-1} = 4 + \sum_{k=2}^n (-20k + 42) 3^{k-1}$

最終的な答えは、画像内の空欄を埋めるものとして解答します。

3. 最終的な答え

1: 5

2: 3

3: 9

4: 8

5: 1

6: 3

7: 4

8: 2

9: 3

10: n-1

11: 5

12: 5

13: -3

14: n

15: 10

16: n

17: -1

18: 3

19: n

20: 4

21: +1

22: 2