チケット売り場に毎分8人の割合で人が並んで行列ができており、朝10時から窓口でチケットを売り始めます。窓口が1つの場合、2時間12分で行列がなくなります。窓口が2つの場合、22分で行列がなくなります。人が並び始めた時刻を求めます。

1. 問題の内容

チケット売り場に毎分8人の割合で人が並んで行列ができており、朝10時から窓口でチケットを売り始めます。窓口が1つの場合、2時間12分で行列がなくなります。窓口が2つの場合、22分で行列がなくなります。人が並び始めた時刻を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2時間12分を分に変換します。

$2時間12分 = 2 \times 60 + 12 = 132分$

次に、窓口1つの場合に132分で行列がなくなることから、132分で行列に並んだ人の数を計算します。毎分8人なので、

$132 \times 8 = 1056人$

窓口1つで132分かけて1056人を処理したということになります。これを$x$とします。

次に、窓口2つの場合に22分で行列がなくなることから、22分で行列に並んだ人の数を計算します。

$22 \times 8 = 176人$

窓口2つで22分かけて176人を処理しました。

窓口が2つなので、1つの窓口では22分かけてチケットを売った人数をyとします。

よって、2つの窓口では $2y$ 人を22分で処理します。

また、並び始めた時刻から10時までの時間を $t$ 分とします。

このとき、行列の人数は $8t$ 人となります。

窓口1つの場合、$x = 1056$ とすると、

$x = 8t + 132y$

$132y = 1056$　

$y = \frac{1056}{132}=8$

窓口2つの場合、$2y = 176$

$y = \frac{176}{2}=8$

つまり、窓口1つでは毎分8人処理できるということになります。

$x = 8t + 132 \times 8$

$x = 8t + 1056$

また、窓口2つの場合、22分で処理できる人数は $x + 22 \times 8$

$2y = 22分で処理できる人数$

窓口一つでは132分で$8t + 132 \times 8 = x$ 人処理します。

窓口二つでは22分で $8t + 22 \times 8 = 22 \times (16)$ 人処理します。

$x = \frac{22}{132}y = \frac{1}{6}y$

よって、$8t + 1056 = 16y$

求めるのは $x$ 人なので、$1056 - 176 = 880$ 人多く処理したことになります。

窓口が一つ増えると毎分8人処理できるようになるので、$880 / 8 = 110$ 分。

22分で110人処理することになるため、1窓口あたりの処理スピードは、$110/22=5$

よって、 $132x - 22y$

窓口が1つのとき、132分で $8t + 132 \times q$ 人を処理します。

窓口が2つのとき、22分で $8t + 22 \times 2q$ 人を処理します。

132分で $8t + q * 132$

22分で $8t + 2q* 22$

132分で処理できた人数 - 22分で処理できた人数 = 0

$8t + 132 q - 2(8t+22q) = 0$

$8t - 16t + 132q - 44 q = 0$

$8t = 88q$

$t = 11q$

1分あたりq人の割合

$8 + q =2q$ よって、$q=8$

$t = 11 \times 8 = 88$ 分

10時から88分前なので、

1時間28分前

10時 - 1時間28分 = 8時32分

3. 最終的な答え

8時32分