図のように、ABを直径とする半円O上に点C,Dがある。 弧CD = 弧DB = (2/9)弧AB のとき、線分ADと線分OCの交点をEとする。 このとき、角AEC ($x$)の大きさを求める。

1. 問題の内容

図のように、ABを直径とする半円O上に点C,Dがある。

弧CD = 弧DB = (2/9)弧AB のとき、線分ADと線分OCの交点をEとする。

このとき、角AEC ($x$)の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、円周角の定理を使って、弧の長さと角度の関係を求める。

* 弧ABは半円なので、$180^\circ$である。

* 弧CD = 弧DB = $\frac{2}{9}$弧AB = $\frac{2}{9} \times 180^\circ = 40^\circ$

* よって、弧CB = 弧CD + 弧DB = $40^\circ + 40^\circ = 80^\circ$

次に、円周角を求める。

* $\angle DAB$は弧DBに対する円周角なので、$\angle DAB = \frac{1}{2} \times 40^\circ = 20^\circ$

* $\angle AOC$は弧ACに対する中心角である。弧ACは弧ABから弧CBを引いたものなので、弧AC = $180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$

したがって、$\angle AOC = 100^\circ$

最後に、三角形AEOについて考える。$\angle EAO = \angle DAB = 20^\circ$であり、$\angle AOE = \angle AOC = 100^\circ$である。

$\angle AEC$は三角形AEOの外角なので、

$\angle AEC = \angle EAO + \angle AOE = 20^\circ + 100^\circ = 120^\circ$

3. 最終的な答え

120度