与えられた円 $C_1: (x-1)^2 + (y-1)^2 = 4$、放物線 $C_2: y = x^2 - x + 1$、点 $P(0, -2)$ について以下の問題を解く。 問1: 円 $C$ の中心の座標と半径を $u$ で表す。ただし、$C$ は点 $Q$ が $C_1$ 上を動くとき、線分 $PQ$ 上の点 $R$ で $PR:RQ = u:(1-u)$ を満たす点の軌跡である。 問2: $u = \frac{1}{2}$ のとき、$C$ の中心と点 $P$ を通る直線を $l$ とする。$l$ と $C_2$ で囲まれた図形の面積を求める。 問3: $\frac{2}{5} < u < \frac{2}{3}$ とする。$C$ が $x$ 軸と異なる2点 $A, B$ で交わるとき、$C$ の中心および $A, B$ を頂点とする三角形の面積を $S$ とする。$S$ を $u$ で表し、$S$ が最大になるときの $u$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた円 $C_1: (x-1)^2 + (y-1)^2 = 4$、放物線 $C_2: y = x^2 - x + 1$、点 $P(0, -2)$ について以下の問題を解く。

問1: 円 $C$ の中心の座標と半径を $u$ で表す。ただし、$C$ は点 $Q$ が $C_1$ 上を動くとき、線分 $PQ$ 上の点 $R$ で $PR:RQ = u:(1-u)$ を満たす点の軌跡である。

問2: $u = \frac{1}{2}$ のとき、$C$ の中心と点 $P$ を通る直線を $l$ とする。$l$ と $C_2$ で囲まれた図形の面積を求める。

問3: $\frac{2}{5} < u < \frac{2}{3}$ とする。$C$ が $x$ 軸と異なる2点 $A, B$ で交わるとき、$C$ の中心および $A, B$ を頂点とする三角形の面積を $S$ とする。$S$ を $u$ で表し、$S$ が最大になるときの $u$ の値を求める。

2. 解き方の手順

問1:

点 $Q$ の座標を $(x_Q, y_Q)$ とすると、$(x_Q - 1)^2 + (y_Q - 1)^2 = 4$ である。

点 $R$ の座標を $(x, y)$ とすると、

$x = \frac{(1-u) \cdot 0 + u \cdot x_Q}{1} = ux_Q$

$y = \frac{(1-u) \cdot (-2) + u \cdot y_Q}{1} = -2(1-u) + uy_Q$

したがって、$x_Q = \frac{x}{u}$、$y_Q = \frac{y + 2(1-u)}{u}$。

これらを $(x_Q - 1)^2 + (y_Q - 1)^2 = 4$ に代入すると、

$(\frac{x}{u} - 1)^2 + (\frac{y + 2(1-u)}{u} - 1)^2 = 4$

$(\frac{x - u}{u})^2 + (\frac{y + 2 - 2u - u}{u})^2 = 4$

$(x - u)^2 + (y + 2 - 3u)^2 = 4u^2$

よって、円 $C$ の中心の座標は $(u, 3u - 2)$、半径は $2u$ である。

問2:

$u = \frac{1}{2}$ のとき、円 $C$ の中心は $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$、半径は $1$ である。

点 $P(0, -2)$ と円 $C$ の中心 $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ を通る直線 $l$ の方程式は、

$\frac{y + 2}{x - 0} = \frac{-\frac{1}{2} + 2}{\frac{1}{2} - 0} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$

$y + 2 = 3x$

$y = 3x - 2$

直線 $l$ と放物線 $C_2$ の交点の $x$ 座標を求める。

$3x - 2 = x^2 - x + 1$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

$x = 1, 3$

交点の座標は $(1, 1), (3, 7)$。

求める面積は

$\int_1^3 (x^2 - x + 1 - (3x - 2)) dx = \int_1^3 (x^2 - 4x + 3) dx = [\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x]_1^3$

$= (9 - 18 + 9) - (\frac{1}{3} - 2 + 3) = 0 - (\frac{1}{3} + 1) = -\frac{4}{3}$

面積なので絶対値をとり、$S = \frac{4}{3}$

問3:

円 $C: (x - u)^2 + (y - (3u - 2))^2 = (2u)^2$ が $x$ 軸と交わるので、$y = 0$ を代入する。

$(x - u)^2 + (3u - 2)^2 = 4u^2$

$(x - u)^2 = 4u^2 - (3u - 2)^2 = 4u^2 - (9u^2 - 12u + 4) = -5u^2 + 12u - 4$

$x - u = \pm \sqrt{-5u^2 + 12u - 4}$

$x = u \pm \sqrt{-5u^2 + 12u - 4}$

$A, B$ の $x$ 座標は $u \pm \sqrt{-5u^2 + 12u - 4}$。

$AB = 2 \sqrt{-5u^2 + 12u - 4}$

円 $C$ の中心から $x$ 軸までの距離は $|3u - 2|$ である。

三角形の面積 $S$ は

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{-5u^2 + 12u - 4} \cdot |3u - 2| = |3u - 2|\sqrt{-5u^2 + 12u - 4}$

$\frac{2}{5} < u < \frac{2}{3}$ のとき、 $3u - 2 < 0$ なので、 $|3u - 2| = 2 - 3u$ である。

$S = (2 - 3u) \sqrt{-5u^2 + 12u - 4}$

$S^2 = (2 - 3u)^2 (-5u^2 + 12u - 4) = (4 - 12u + 9u^2) (-5u^2 + 12u - 4)$

$S^2 = -20u^2 + 48u - 16 + 60u^3 - 144u^2 + 48u - 45u^4 + 108u^3 - 36u^2$

$S^2 = -45u^4 + 168u^3 - 200u^2 + 96u - 16$

$S^2$ を $u$ で微分して、$0$ とおくと最大値を与える $u$ が求まる。

$\frac{d}{du} S^2 = -180u^3 + 504u^2 - 400u + 96 = 0$

$-45u^3 + 126u^2 - 100u + 24 = 0$

$u = \frac{2}{5}$のとき$=-45(\frac{8}{125})+126(\frac{4}{25})-100(\frac{2}{5})+24=-\frac{72}{25}+\frac{504}{25}-40+24=\frac{432}{25}-16=\frac{432-400}{25}=\frac{32}{25} \ne 0$

$u = \frac{2}{3}$のとき$=-45(\frac{8}{27})+126(\frac{4}{9})-100(\frac{2}{3})+24=-40/3+56/1-200/3+24=-80/3+80 = 0$

$u = 2/3$ が導関数を0にする一つの解なので、因数分解すると

$-45u^3 + 126u^2 - 100u + 24 = (3u - 2)(-15u^2 + 32u - 12) = 0$

$-15u^2 + 32u - 12 = 0$

$u = \frac{-32 \pm \sqrt{32^2 - 4(-15)(-12)}}{-30} = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 720}}{30} = \frac{32 \pm \sqrt{304}}{30} = \frac{32 \pm 4\sqrt{19}}{30} = \frac{16 \pm 2\sqrt{19}}{15}$

$\frac{2}{5} < u < \frac{2}{3}$ より、$u = \frac{16 - 2\sqrt{19}}{15} \approx 0.435$

3. 最終的な答え

問1: 中心 $(u, 3u - 2)$、半径 $2u$

問2: $\frac{4}{3}$

問3: $u = \frac{16 - 2\sqrt{19}}{15}$