長さ20cmの針金を2つに切り、それぞれの針金で正方形を作る。両正方形の面積の和が13cm$^2$以下となるようにするには、切断点をどの範囲にすればよいか。

1. 問題の内容

長さ20cmの針金を2つに切り、それぞれの針金で正方形を作る。両正方形の面積の和が13cm$^2$以下となるようにするには、切断点をどの範囲にすればよいか。

2. 解き方の手順

まず、2つの正方形の一辺の長さをそれぞれ $x$ と $y$ とします。針金の長さの合計が20cmなので、

$4x + 4y = 20$

$x + y = 5$

$y = 5 - x$

となります。

次に、2つの正方形の面積の和が13cm$^2$以下なので、

$x^2 + y^2 \le 13$

$x^2 + (5-x)^2 \le 13$

$x^2 + 25 - 10x + x^2 \le 13$

$2x^2 - 10x + 25 \le 13$

$2x^2 - 10x + 12 \le 0$

$x^2 - 5x + 6 \le 0$

$(x-2)(x-3) \le 0$

したがって、$2 \le x \le 3$ となります。

正方形の一辺の長さが $x$ のとき、針金の長さは $4x$ です。

$x=2$ のとき、針金の長さは $4 \times 2 = 8$ cm

$x=3$ のとき、針金の長さは $4 \times 3 = 12$ cm

切断点は8cmから12cmの間であればよいことになります。

針金を2つに切った時、片方の長さが $L$ cmだったとすると、もう片方の長さは $20-L$ cmです。

短い方の針金で作られる正方形の一辺の長さを $x$ とすると、$4x \le 10$ より $x \le 2.5$

長い方の針金で作られる正方形の一辺の長さを $y$ とすると、$4y \ge 10$ より $y \ge 2.5$

面積の和が13以下になるのは、$2 \le x \le 3$の場合なので、

$8 \le L \le 12$

3. 最終的な答え

切断点を8cmから12cmの範囲にすればよい。