2次関数 $y = -3x^2 + kx + k$ のグラフが $x$ 軸より下方にあるような、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。これは、すべての $x$ に対して $y < 0$ となるような $k$ の範囲を求めることと同じです。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -3x^2 + kx + k$ のグラフが $x$ 軸より下方にあるような、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。これは、すべての $x$ に対して $y < 0$ となるような $k$ の範囲を求めることと同じです。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフが常に $x$ 軸より下方にあるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

1. 2次関数の係数が負であること。

2. 判別式 $D$ が負であること。

問題の2次関数は $y = -3x^2 + kx + k$ であり、2次の係数は $-3$ で負であるので、条件1はすでに満たされています。

次に判別式 $D$ を計算します。

$D = b^2 - 4ac$ であり、$a = -3$, $b = k$, $c = k$ なので、

$D = k^2 - 4(-3)(k) = k^2 + 12k$

条件2より、$D < 0$ である必要があるので、

$k^2 + 12k < 0$

$k(k + 12) < 0$

この不等式を満たす $k$ の範囲は、$-12 < k < 0$ です。

3. 最終的な答え

$-12 < k < 0$