与えられた2変数多項式 $x^2 + 5xy + 6y^2 + x - y - 12$ を因数分解し、$(x + \text{ア}y - \text{イ})(x + \text{ウ}y + \text{エ})$ の形に表すとき、ア、イ、ウ、エに入る数字を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $x^2 + 5xy + 6y^2 + x - y - 12$ を因数分解し、$(x + \text{ア}y - \text{イ})(x + \text{ウ}y + \text{エ})$ の形に表すとき、ア、イ、ウ、エに入る数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 5xy + 6y^2$ の部分を因数分解します。

$x^2 + 5xy + 6y^2 = (x+2y)(x+3y)$

与えられた式は

$x^2 + 5xy + 6y^2 + x - y - 12 = (x+2y)(x+3y) + x - y - 12$

となるので、$(x+2y+a)(x+3y+b)$の形になると仮定して展開します。

$(x+2y+a)(x+3y+b) = x^2 + 3xy + bx + 2xy + 6y^2 + 2by + ax + 3ay + ab$

$= x^2 + 5xy + 6y^2 + (a+b)x + (3a+2b)y + ab$

与式と比較して、$a+b = 1$ および $3a+2b = -1$、かつ $ab = -12$ が成り立つ必要があります。

$a+b=1$ より $b=1-a$

$3a+2b=-1$ に代入して

$3a + 2(1-a) = -1$

$3a + 2 - 2a = -1$

$a = -3$

$b = 1 - a = 1 - (-3) = 4$

$ab = (-3)(4) = -12$ となり条件を満たします。

したがって、因数分解の結果は $(x+2y-3)(x+3y+4)$ となります。

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 3

ウ = 3

エ = 4