次の定積分を求めよ。 $\int_1^4 (27x^2 + 18x) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めよ。

$\int_1^4 (27x^2 + 18x) dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (27x^2 + 18x) dx = 27 \int x^2 dx + 18 \int x dx$

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_1$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_2$

したがって、不定積分は

$27(\frac{x^3}{3}) + 18(\frac{x^2}{2}) + C = 9x^3 + 9x^2 + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_1^4 (27x^2 + 18x) dx = [9x^3 + 9x^2]_1^4$

$= (9(4^3) + 9(4^2)) - (9(1^3) + 9(1^2))$

$= (9(64) + 9(16)) - (9 + 9)$

$= (576 + 144) - 18$

$= 720 - 18$

$= 702$

3. 最終的な答え

702