与えられた定積分の計算をします。 $\int_{1}^{4} (3x^2 - 5x) \, dx + \int_{1}^{4} (3x^2 + x) \, dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の計算をします。

$\int_{1}^{4} (3x^2 - 5x) \, dx + \int_{1}^{4} (3x^2 + x) \, dx$

2. 解き方の手順

定積分の性質より、積分区間が同じである場合、被積分関数をまとめることができます。

$\int_{1}^{4} (3x^2 - 5x) \, dx + \int_{1}^{4} (3x^2 + x) \, dx = \int_{1}^{4} [(3x^2 - 5x) + (3x^2 + x)] \, dx$

被積分関数を整理します。

$3x^2 - 5x + 3x^2 + x = 6x^2 - 4x$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 4x) \, dx$

不定積分を計算します。

$\int (6x^2 - 4x) \, dx = 6 \int x^2 \, dx - 4 \int x \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x^3 - 2x^2 + C$

定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (6x^2 - 4x) \, dx = [2x^3 - 2x^2]_{1}^{4} = (2 \cdot 4^3 - 2 \cdot 4^2) - (2 \cdot 1^3 - 2 \cdot 1^2) = (2 \cdot 64 - 2 \cdot 16) - (2 - 2) = (128 - 32) - 0 = 96$

3. 最終的な答え

96