与えられた不定方程式 $35x + 9y = 2$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不定方程式 $35x + 9y = 2$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、方程式 $35x + 9y = 1$ を満たす整数解 $(x_0, y_0)$ を1つ見つけます。

次に、得られた解 $(x_0, y_0)$ を用いて、方程式 $35x + 9y = 2$ の整数解を求めます。

$35x + 9y = 1$ の整数解を求めるために、ユークリッドの互除法を用います。

$35 = 9 \cdot 3 + 8$

$9 = 8 \cdot 1 + 1$

上の式を逆にたどります。

$1 = 9 - 8 \cdot 1$

$1 = 9 - (35 - 9 \cdot 3) \cdot 1$

$1 = 9 - 35 + 9 \cdot 3$

$1 = 9 \cdot 4 - 35 \cdot 1$

したがって、$35(-1) + 9(4) = 1$ です。

この式から、$35x + 9y = 2$ の整数解を求めるために、両辺を2倍します。

$35(-1 \cdot 2) + 9(4 \cdot 2) = 2$

$35(-2) + 9(8) = 2$

よって、一つの解は $(x, y) = (-2, 8)$ です。

一般解を求めるためには、まず $35x + 9y = 0$ の解を求めます。

$35x = -9y$

$35x$ は9の倍数であり、35と9は互いに素なので、$x$ は9の倍数です。

$x = 9k$ とすると、$35(9k) = -9y$ より $y = -35k$となります。

したがって、一般解は $(x, y) = (-2 + 9k, 8 - 35k)$ と表せます (kは任意の整数)。

3. 最終的な答え

$35x + 9y = 2$ を満たす整数解の組は、$(x, y) = (-2 + 9k, 8 - 35k)$ （$k$ は任意の整数）です。