与えられた一次不定方程式 $100x + 7y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた一次不定方程式 $100x + 7y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

一次不定方程式 $ax + by = c$ の整数解を求めるには、ユークリッドの互除法を用いて特殊解を求め、その後、一般解を求めます。

まず、$100$ と $7$ に対してユークリッドの互除法を行います。

$100 = 7 \times 14 + 2$

$7 = 2 \times 3 + 1$

$2 = 1 \times 2 + 0$

互除法の式を逆にたどります。

$1 = 7 - 2 \times 3$

$2 = 100 - 7 \times 14$

これらを代入していくと、

$1 = 7 - (100 - 7 \times 14) \times 3$

$1 = 7 - 100 \times 3 + 7 \times 42$

$1 = 100 \times (-3) + 7 \times 43$

したがって、$100x + 7y = 1$ の特殊解の一つは $(x, y) = (-3, 43)$ です。

次に、一般解を求めます。

$100x + 7y = 1$

$100 \times (-3) + 7 \times 43 = 1$

2式を引き算すると、

$100(x + 3) + 7(y - 43) = 0$

$100(x + 3) = -7(y - 43)$

$100$ と $7$ は互いに素なので、$x + 3$ は $7$ の倍数でなければなりません。

したがって、$x + 3 = 7k$ ($k$ は整数) と書けます。

$x = 7k - 3$

これを代入して、

$100(7k) = -7(y - 43)$

$100k = -(y - 43)$

$y = -100k + 43$

したがって、一般解は $(x, y) = (7k - 3, -100k + 43)$ ($k$ は整数) となります。

3. 最終的な答え

一次不定方程式 $100x + 7y = 1$ の整数解は、$(x, y) = (7k - 3, -100k + 43)$ （$k$ は整数）です。

例えば、$k = 0$ のとき、$(x, y) = (-3, 43)$ です。