図に示されたそれぞれの図において、$x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

図に示されたそれぞれの図において、$x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 方べきの定理より、$PC \cdot PD = PA \cdot PB$ が成り立ちます。$PC = 2$, $PD = 3$, $PA = x$, $PB = 4$ を代入すると、$2 \cdot 3 = x \cdot 4$ となります。

$6 = 4x$

$x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

(2) 円の中心を $O$ とします。直線 $AD$ は直径なので、$\angle ACD = 90^{\circ}$。

$AC \perp CD$, $PC \perp CB$ となります。

$\angle APB = \angle DPC$ （対頂角）

$AD$ は直径なので，$AC = 2$ ，$CD = 3$となる。

$AD=AO+OD$

$\angle ABC = 90°$（直径に対する円周角）

$AB$の長さを考えると$AB=4$となる。

$\triangle ABC$ について、三平方の定理より、$AC^2 + BC^2 = AB^2$

$2^2 + BC^2 = 4^2$

$4 + BC^2 = 16$

$BC^2 = 12$

$BC = 2\sqrt{3}$

$CD = x$

$\tan{CAD}=AC/CD=2/x$

$\sin{CAD}=4/(5+3/2)=4/13/2$

$\angle CPD= \angle APB$

$\angle ABC = \angle DPC$

円の中心からの距離なので半径と考えると

$CO=OB$

$OC=x$

$OB=4$

$x=4$

(3) 円の接線に関する性質より、$PT^2 = PA \cdot PB$ が成り立ちます。$PT = 10$, $PA = 5$, $PB = 5+x$ を代入すると、$10^2 = 5 \cdot (5+x)$ となります。

$100 = 25 + 5x$

$75 = 5x$

$x = 15$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{3}{2}$

(2) $x = 4$

(3) $x = 15$