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$\tan \theta = -\sqrt{3} - 2$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めなさい。

解析学三角関数三角関数の恒等式tansincos有理化
2025/4/6

1. 問題の内容

tan⁡θ=−3−2\tan \theta = -\sqrt{3} - 2 のとき、sin⁡θ\sin \theta と cos⁡θ\cos \theta の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の恒等式 1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} を用いて cos⁡θ\cos \theta を求めます。
tan⁡θ=−3−2\tan \theta = -\sqrt{3} - 2 を代入すると、
1+(−3−2)2=1cos⁡2θ1 + (-\sqrt{3} - 2)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}
1+(3+43+4)=1cos⁡2θ1 + (3 + 4\sqrt{3} + 4) = \frac{1}{\cos^2 \theta}
1+7+43=1cos⁡2θ1 + 7 + 4\sqrt{3} = \frac{1}{\cos^2 \theta}
8+43=1cos⁡2θ8 + 4\sqrt{3} = \frac{1}{\cos^2 \theta}
cos⁡2θ=18+43=14(2+3)\cos^2 \theta = \frac{1}{8 + 4\sqrt{3}} = \frac{1}{4(2 + \sqrt{3})}
cos⁡2θ=2−34(2+3)(2−3)=2−34(4−3)=2−34\cos^2 \theta = \frac{2 - \sqrt{3}}{4(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4(4 - 3)} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}
cos⁡θ=±2−32\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}
ここで、tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} なので、sin⁡θ=tan⁡θcos⁡θ\sin \theta = \tan \theta \cos \theta を用いて sin⁡θ\sin \theta を求めます。
sin⁡θ=(−3−2)cos⁡θ\sin \theta = (-\sqrt{3} - 2) \cos \theta
cos⁡θ=2−32\cos \theta = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} のとき、
sin⁡θ=(−3−2)2−32=(−2−3)2−32\sin \theta = (-\sqrt{3} - 2) \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} = \frac{(-2-\sqrt{3}) \sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}
cos⁡θ=−2−32\cos \theta = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} のとき、
sin⁡θ=(−3−2)(−2−32)=(2+3)2−32\sin \theta = (-\sqrt{3} - 2) (-\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}) = \frac{(2+\sqrt{3}) \sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}
ここで、2+3>02 + \sqrt{3} > 0なので、tanθ=−2−3<0tan \theta = -2-\sqrt{3} < 0 より、sin⁡θ\sin \theta と cos⁡θ\cos \theta は異符号である必要があります。
2−3=4−232=3−12=6−22\sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}
cos⁡θ=±6−24\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
sin⁡θ=tan⁡θcos⁡θ=(−2−3)cos⁡θ\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = (-2 - \sqrt{3}) \cos \theta
cos⁡θ=6−24\cos \theta = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} の時、sin⁡θ=(−2−3)6−24=(−2−3)(6−2)4\sin \theta = (-2-\sqrt{3})\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{(-2-\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}
cos⁡θ=−6−24\cos \theta = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} の時、sin⁡θ=(−2−3)(−6−24)=(2+3)(6−2)4\sin \theta = (-2-\sqrt{3})(-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}) = \frac{(2+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}
計算すると、
sin⁡θ=(2+3)(2−6)4\sin \theta = \frac{(2+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{4}の時、cos⁡θ=6−24\cos \theta = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
sin⁡θ=(2+3)(6−2)4\sin \theta = \frac{(2+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}の時、cos⁡θ=2−64\cos \theta = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}

3. 最終的な答え

cos⁡θ=6−24\cos \theta = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} , sin⁡θ=(2+3)(2−6)4\sin \theta = \frac{(2+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{4}
または
cos⁡θ=2−64\cos \theta = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} , sin⁡θ=(2+3)(6−2)4\sin \theta = \frac{(2+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}

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