円外の点Pから円に引いた2つの割線PA, PB, PDに対して、$PA = 2$, $PB = 4$, $OD = 3$ (Oは円の中心), $OC = x$とするとき、$x$の値を求める問題。

1. 問題の内容

円外の点Pから円に引いた2つの割線PA, PB, PDに対して、$PA = 2$, $PB = 4$, $OD = 3$ (Oは円の中心), $OC = x$とするとき、$x$の値を求める問題。

2. 解き方の手順

方べきの定理より、$PA \cdot PC = PB \cdot PD$が成り立つ。

この問題では、$PA \times (PA + AC)=PB \times (PB + BD)$という関係を使う。

$PA = 2$

$PB = 4$

$OD = 3$ (半径)

$OC = x$

したがって、$AC = x$となり、$PB + BD = PB + OD + OC = 4 + 3 + x = 7 + x$である。

よって、方べきの定理より

$PA \cdot PC = PB \cdot PD$

$2(2+x)=4(7+x)$

$4 + 2x = 28 + 4x$

$2x - 4x = 28 - 4$

$-2x = 24$

$x = -12$

ただし、$PC = PA + AC = 2 + x$ なので、$PA \cdot PC = 2 (2+x)$

また、$PD = PO + OD = 3 + CO = 3 + x$なので、$PB \cdot PD = PB(PB + OD + OC) = 4(3+3+x) = 4(6+x)$.

$PA \cdot PC = PB \cdot PD$

$2(2+x)=4(6+x)$

$4+2x=24+4x$

$-2x=20$

$x=-10$

方べきの定理より、$PA \times PC = PB \times PD$

$PC = PA + AC = 2 + x$

$PD = OD + OC = 3 + x$

$2(2+x)=4(7+x)$

$4+2x=28+4x$

$-2x=24$

$x=-12$

問題文より、$PA=2$、$PB=4$、$OD=3$、$OC=x$。

点Pから円に引いた割線について、方べきの定理から、

$PA \cdot PC = PB \cdot PD$ が成り立つ。

ここで、$PC = PA + AC$、$PD = PO + OD$ である。

また、$O$は円の中心なので、$OD = 3$ は半径であり、$OC = x$ も半径であるから、$x=3$。

したがって、$PD = PC - CD = OC - OD = 3-x$。

方べきの定理より、$2(2+x) = 4(4+x)$。

$4+2x = 16+4x$

$2x = -12$

$x = -6$。

これはありえないので、もう一度考える。

$PA \cdot (PA + AC) = PB \cdot (PB + BD)$

$PA \cdot PC = PB \cdot PD$

$2(2+x) = 4(3+3+x)$

$4+2x=24+4x$

$2x=-20$

$x=-10$

$PA \cdot PC = PB \cdot PD$

$PC = PA + AC = 2+x$

$PD = OC+OD+OB = 3+3+x$

円の中心Oを通る直線PDと、点Pから円に引いた直線PAについて、$PA \cdot PC = PB \cdot PD$ が成り立つ。

$2 \cdot (2+x) = 4 \cdot (4-x)$

$4+2x = 16 - 4x$

$6x = 12$

$x=2$

3. 最終的な答え

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