正の定数 $a$ が与えられています。座標平面上に2つの円 $C_1$ と $C_2$ があり、それらの方程式はそれぞれ $C_1: x^2 + y^2 - 2ax - 3a^2 = 0$ と $C_2: x^2 + y^2 - 2x + 4y + 4 = 0$ です。 (1) 円 $C_1$ の中心の座標と半径を $a$ を用いて表してください。 (2) 円 $C_1$ と円 $C_2$ の中心間の距離を $d$ とします。$d^2$ を $a$ を用いて表してください。 (3) 円 $C_1$ と円 $C_2$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めてください。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ が与えられています。座標平面上に2つの円 $C_1$ と $C_2$ があり、それらの方程式はそれぞれ $C_1: x^2 + y^2 - 2ax - 3a^2 = 0$ と $C_2: x^2 + y^2 - 2x + 4y + 4 = 0$ です。

(1) 円 $C_1$ の中心の座標と半径を $a$ を用いて表してください。

(2) 円 $C_1$ と円 $C_2$ の中心間の距離を $d$ とします。$d^2$ を $a$ を用いて表してください。

(3) 円 $C_1$ と円 $C_2$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C_1$ の方程式を平方完成します。

$x^2 - 2ax + y^2 - 3a^2 = 0$

$(x - a)^2 - a^2 + y^2 - 3a^2 = 0$

$(x - a)^2 + y^2 = 4a^2$

したがって、円 $C_1$ の中心の座標は $(a, 0)$ であり、半径は $2a$ です。

(2) 円 $C_2$ の方程式を平方完成します。

$x^2 - 2x + y^2 + 4y + 4 = 0$

$(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + 4 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1$

したがって、円 $C_2$ の中心の座標は $(1, -2)$ であり、半径は $1$ です。

円 $C_1$ と円 $C_2$ の中心間の距離 $d$ は、2点 $(a, 0)$ と $(1, -2)$ の距離です。

$d = \sqrt{(a - 1)^2 + (0 - (-2))^2}$

$d = \sqrt{(a - 1)^2 + 4}$

したがって、$d^2 = (a - 1)^2 + 4 = a^2 - 2a + 1 + 4 = a^2 - 2a + 5$ です。

(3) 円 $C_1$ と円 $C_2$ が異なる2点で交わる条件は、

$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$

ここで、$r_1 = 2a$、$r_2 = 1$ です。

したがって、$|2a - 1| < d < 2a + 1$

$d^2 = a^2 - 2a + 5$ であるから、上記の不等式を2乗すると、

$(2a - 1)^2 < a^2 - 2a + 5 < (2a + 1)^2$

まず、$a^2 - 2a + 5 > (2a - 1)^2 = 4a^2 - 4a + 1$ を解きます。

$3a^2 - 2a - 4 < 0$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

したがって、$\frac{1 - \sqrt{13}}{3} < a < \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$

次に、$a^2 - 2a + 5 < (2a + 1)^2 = 4a^2 + 4a + 1$ を解きます。

$3a^2 + 6a - 4 > 0$

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 48}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{84}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{3}$

したがって、$a < \frac{-3 - \sqrt{21}}{3}$ または $a > \frac{-3 + \sqrt{21}}{3}$

$a > 0$ であるから、$a > \frac{-3 + \sqrt{21}}{3}$

したがって、$0 < \frac{-3 + \sqrt{21}}{3} < a < \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$

ここで、$\frac{-3 + \sqrt{21}}{3} \approx 0.5275$ および $\frac{1 + \sqrt{13}}{3} \approx 1.535$

また、$|2a - 1| < 2a + 1$ は常に成り立ちます。

最終的に、$a > 0$ の条件と合わせて、$\frac{-3 + \sqrt{21}}{3} < a < \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 中心: $(a, 0)$, 半径: $2a$

(2) $d^2 = a^2 - 2a + 5$

(3) $\frac{-3 + \sqrt{21}}{3} < a < \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$