円の外部の点Pから引いた直線が円と2点で交わっている。PA = 2, PC = x, OD = 3, OB = 4 のとき、xの値を求める。

1. 問題の内容

円の外部の点Pから引いた直線が円と2点で交わっている。PA = 2, PC = x, OD = 3, OB = 4 のとき、xの値を求める。

2. 解き方の手順

方べきの定理を利用する。方べきの定理とは、円の外部の点Pから円に引いた2本の直線が、円とそれぞれ点A, B および C, D で交わるとき、

$PA \times PB = PC \times PD$

が成り立つという定理である。

図より、PA = 2, PC = x, OB = 4, OD = 3 である。点Oは円の中心なので、ODは円の半径である。

よって、OBも円の半径なので、OB = OD = 4 である。

また、PB = PA + AB = 2 + AB, PD = PC + CD = x + CD である。ここで、CD = OD + OC = 4 + x。

さらに、PB = AB = 4+4=8。

PB = PA + AB = 2 + 4 + 4 = 10。

PD = PC + CD = x + 3 + 3 = x + 6。

方べきの定理より、

$PA \times PB = PC \times PD$

$2 \times 10 = x \times (x + 6)$

$20 = x^2 + 6x$

$x^2 + 6x - 20 = 0$

これを解の公式を用いて解くと

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \times 1 \times (-20)}}{2 \times 1}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 80}}{2}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{116}}{2}$

$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{29}}{2}$

$x = -3 \pm \sqrt{29}$

x は長さなので、x > 0 である必要がある。

したがって、$x = -3 + \sqrt{29}$

3. 最終的な答え

$x = -3 + \sqrt{29}$