次の不定積分を求めよ： $\int (-6x^3 - 3x^2 + 5x + 3) dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ：

$\int (-6x^3 - 3x^2 + 5x + 3) dx$

2. 解き方の手順

不定積分は、各項ごとに積分を行い、最後に積分定数 $C$ を加えることで求めることができます。

各項の積分は、$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ という公式を利用します。

- $-6x^3$ の積分:

$\int -6x^3 dx = -6 \int x^3 dx = -6 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = -6 \cdot \frac{x^4}{4} = -\frac{3}{2}x^4$

- $-3x^2$ の積分:

$\int -3x^2 dx = -3 \int x^2 dx = -3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3$

- $5x$ の積分:

$\int 5x dx = 5 \int x dx = 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{5}{2}x^2$

- $3$ の積分:

$\int 3 dx = 3 \int 1 dx = 3x$

したがって、不定積分は次のようになります。

$\int (-6x^3 - 3x^2 + 5x + 3) dx = -\frac{3}{2}x^4 - x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 3x + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{2}x^4 - x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 3x + C$