問題34は、関数 $y = ax^2$ のグラフに関する問題です。 (1) $a$ の値と点 A の $y$ 座標を求めます。 (2) $x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求めます。 (3) 直線 AB の式を求めます。 (4) 三角形 OAB の面積を求めます。

## 問題34の解答

1. 問題の内容

問題34は、関数 $y = ax^2$ のグラフに関する問題です。

(1) $a$ の値と点 A の $y$ 座標を求めます。

(2) $x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求めます。

(3) 直線 AB の式を求めます。

(4) 三角形 OAB の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の値と点 A の $y$ 座標を求める。

グラフから、点 B の座標は $(2, 8)$ であることがわかります。この座標を $y = ax^2$ に代入して、$a$ の値を求めます。

$8 = a(2)^2$

$8 = 4a$

$a = 2$

したがって、$y = 2x^2$ となります。

点 A の $x$ 座標は $-4$ なので、$x = -4$ を $y = 2x^2$ に代入して、$y$ 座標を求めます。

$y = 2(-4)^2$

$y = 2(16)$

$y = 32$

よって、点 A の $y$ 座標は 32 です。

(2) $x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求める。

関数 $y = 2x^2$ は、$x = 0$ のとき最小値 $y = 0$ を取ります。

$x = -3$ のとき、$y = 2(-3)^2 = 2(9) = 18$ です。

$x = 1$ のとき、$y = 2(1)^2 = 2$ です。

したがって、$-3 \le x \le 1$ のとき、$0 \le y \le 18$ となります。

(3) 直線 AB の式を求める。

点 A の座標は $(-4, 32)$ で、点 B の座標は $(2, 8)$ です。

直線の式を $y = mx + b$ とすると、傾き $m$ は、

$m = \frac{32 - 8}{-4 - 2} = \frac{24}{-6} = -4$

したがって、$y = -4x + b$ となります。

点 B の座標 $(2, 8)$ を代入すると、

$8 = -4(2) + b$

$8 = -8 + b$

$b = 16$

したがって、直線 AB の式は $y = -4x + 16$ です。

(4) 三角形 OAB の面積を求める。

三角形 OAB の面積は、直線 AB の $y$ 切片 (点 $(0, 16)$) を高さ、線分 OB の $x$ 座標を底辺と考えると、

$\frac{1}{2} \times 2 \times 16 = 16$

したがって、三角形 OAB の面積は 16 です。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, 点 A の $y$ 座標は 32

(2) $0 \le y \le 18$

(3) $y = -4x + 16$

(4) 16