直角三角形ABCの内接円と各辺との接点をP, Q, Rとする。$\angle A = 90^\circ$, $BP = 10$, $PC = 3$であるとき、$\angle RPQ$の大きさと内接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCの内接円と各辺との接点をP, Q, Rとする。$\angle A = 90^\circ$, $BP = 10$, $PC = 3$であるとき、$\angle RPQ$の大きさと内接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、内接円の半径を$r$と置く。

$AR = AQ = r$ である。

$AB = AR + RB = r + 10$

$AC = AQ + QC = r + 3$

三平方の定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$(10 + 3)^2 = (r+10)^2 + (r+3)^2$

$169 = r^2 + 20r + 100 + r^2 + 6r + 9$

$2r^2 + 26r - 60 = 0$

$r^2 + 13r - 30 = 0$

$(r + 15)(r - 2) = 0$

$r = -15, 2$

$r > 0$ より、$r = 2$

次に、$\angle RPQ$の大きさを求める。

$\angle RAQ = 90^\circ$ であり、四角形$ARQ$は正方形。

したがって、$\angle ARQ = \angle AQR = 45^\circ$

$\angle BRP = \angle BPR = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}$

$\angle CQP = \angle CPQ = \frac{180^\circ - \angle C}{2} = 90^\circ - \frac{\angle C}{2}$

$\angle RPQ = 180^\circ - \angle BRP - \angle CPQ = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\angle B}{2}) - (90^\circ - \frac{\angle C}{2}) = \frac{\angle B + \angle C}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

または、$\angle RPQ = \frac{1}{2} \angle A = \frac{90}{2} = 45^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle RPQ = 45^\circ$

内接円の半径 $r = 2$