この問題は、連立不等式、循環小数の計算、絶対値記号を含む方程式、無理数の計算という4つの小問から構成されています。それぞれ、 (1) 連立不等式 $\begin{cases} 4x + 7 \ge x + 10 \\ x^2 - 4x - 1 \le 0 \end{cases}$ を解く (2) 循環小数の差 $1.1\dot{5} - 0.5\dot{1}$ を計算する (3) 方程式 $-x^2 + 2|x+1| = 3$ の実数解を求める (4) $a = \frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{\sqrt{15}-\sqrt{13}}$ のとき、$a$ と $a + \frac{1}{a}$ を求める

1. 問題の内容

この問題は、連立不等式、循環小数の計算、絶対値記号を含む方程式、無理数の計算という4つの小問から構成されています。それぞれ、

(1) 連立不等式 $\begin{cases} 4x + 7 \ge x + 10 \\ x^2 - 4x - 1 \le 0 \end{cases}$ を解く

(2) 循環小数の差 $1.1\dot{5} - 0.5\dot{1}$ を計算する

(3) 方程式 $-x^2 + 2|x+1| = 3$ の実数解を求める

(4) $a = \frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{\sqrt{15}-\sqrt{13}}$ のとき、$a$ と $a + \frac{1}{a}$ を求める

2. 解き方の手順

(1) 連立不等式

- $4x + 7 \ge x + 10$ を解くと、$3x \ge 3$ より、$x \ge 1$

- $x^2 - 4x - 1 \le 0$ を解く。解の公式より、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

- よって、$2 - \sqrt{5} \le x \le 2 + \sqrt{5}$

- $x \ge 1$ と $2 - \sqrt{5} \le x \le 2 + \sqrt{5}$ を満たす範囲は、$1 \le x \le 2 + \sqrt{5}$

(2) 循環小数の差

- $1.1\dot{5} = 1.1 + 0.0555\dots = 1.1 + \frac{5}{90} = \frac{11}{10} + \frac{1}{18} = \frac{99 + 5}{90} = \frac{104}{90} = \frac{52}{45}$

- $0.5\dot{1} = 0.5 + 0.0111\dots = 0.5 + \frac{1}{90} = \frac{5}{10} + \frac{1}{90} = \frac{45 + 1}{90} = \frac{46}{90} = \frac{23}{45}$

- $1.1\dot{5} - 0.5\dot{1} = \frac{52}{45} - \frac{23}{45} = \frac{29}{45}$

(3) 方程式 $-x^2 + 2|x+1| = 3$

- $x+1 \ge 0$ つまり $x \ge -1$ のとき、$-x^2 + 2(x+1) = 3$ なので、$-x^2 + 2x + 2 = 3$ より、$x^2 - 2x + 1 = 0$ つまり $(x-1)^2 = 0$。よって $x=1$

- $x+1 < 0$ つまり $x < -1$ のとき、$-x^2 - 2(x+1) = 3$ なので、$-x^2 - 2x - 2 = 3$ より、$x^2 + 2x + 5 = 0$。判別式は $D = 4 - 4(5) = -16 < 0$ なので、実数解なし。

- よって、実数解は $x=1$

(4) $a = \frac{\sqrt{15}+\sqrt{13}}{\sqrt{15}-\sqrt{13}}$

- $a = \frac{(\sqrt{15}+\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})} = \frac{15 + 2\sqrt{15 \cdot 13} + 13}{15 - 13} = \frac{28 + 2\sqrt{195}}{2} = 14 + \sqrt{195}$

- $\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{15}-\sqrt{13}}{\sqrt{15}+\sqrt{13}} = \frac{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}-\sqrt{13})}{(\sqrt{15}+\sqrt{13})(\sqrt{15}-\sqrt{13})} = \frac{15 - 2\sqrt{15 \cdot 13} + 13}{15 - 13} = \frac{28 - 2\sqrt{195}}{2} = 14 - \sqrt{195}$

- $a + \frac{1}{a} = (14 + \sqrt{195}) + (14 - \sqrt{195}) = 28$

3. 最終的な答え

1: $1 \le x \le 2 + \sqrt{5}$

2: $\frac{29}{45}$

3: $x = 1$

4: $a = 14 + \sqrt{195}$

5: $a + \frac{1}{a} = 28$