与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。 (1) 中心が $(4, 2)$ で半径が $3$ の円の方程式を求めます。 (2) 中心が $(1, -1)$ で原点を通る円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。

(1) 中心が $(4, 2)$ で半径が $3$ の円の方程式を求めます。

(2) 中心が $(1, -1)$ で原点を通る円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円の中心が $(a, b)$ で半径が $r$ のとき、円の方程式は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ で表されます。

中心が $(4, 2)$ で半径が $3$ の場合、$a = 4$, $b = 2$, $r = 3$ を代入します。

$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 3^2$

$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 9$

(2) 円の中心が $(1, -1)$ で原点 $(0, 0)$ を通る場合、円の方程式は $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = r^2$ と表されます。

原点 $(0, 0)$ を通るので、$x = 0$, $y = 0$ を代入すると、

$(0 - 1)^2 + (0 + 1)^2 = r^2$

$1 + 1 = r^2$

$r^2 = 2$

したがって、円の方程式は $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 9$

(2) $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 2$