四角形ABCDは平行四辺形であり、AB=APである。このとき、三角形APDと三角形DCAが合同であることを証明する。

1. 問題の内容

四角形ABCDは平行四辺形であり、AB=APである。このとき、三角形APDと三角形DCAが合同であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、平行四辺形の性質を利用して、向かい合う角が等しいこと、つまり$\angle ABC = \angle ADC$を示します。

次に、AB=APなので、三角形ABPは二等辺三角形です。二等辺三角形の底角は等しいので、$\angle ABP = \angle APB$です。

さらに、$\angle APD$は$\angle APB$の錯角で、$\angle ABC$は$\angle ABP$の錯角なので、$\angle ABC=\angle ADC$かつ$\angle ABP = \angle APB$が成り立ちます。また、$\angle ABC+\angle APB = 180^{\circ}$であることから$\angle ADC+\angle APD = 180^{\circ}$であることもわかります。

また、$\angle ABC = \angle ADC$なので、$\angle ABP = \angle ADC$が成り立ちます。

平行四辺形の対辺は平行なので、AB//DCより$\angle BAC = \angle DCA$（錯角）。

$\angle ABC = \angle ADC$かつAB=APより$\angle ABC = \angle APB$なので、$\angle APB = \angle ADC$となります。

$\angle APD+\angle APB = 180^{\circ}$、$\angle ADC+\angle BCD = 180^{\circ}$より、$\angle APD = \angle BCD$となります。平行四辺形の対角は等しいので、$\angle BCD = \angle BAD$、よって$\angle APD = \angle BAD$となります。

三角形APDと三角形DCAにおいて、

1. ADは共通。

2. 平行四辺形の対辺は等しいので、AP=DC。

3. 平行四辺形の対角は等しいので$\angle ADC = \angle B = \angle APB$。

4. 平行線の錯角は等しいので$\angle DAC = \angle BCA$。

5. AB=APより、$\triangle ABP$は二等辺三角形であるため$\angle B = \angle APB$。

6. $\angle B+\angle APB+\angle BAP = 180^{\circ}$なので$\angle B+\angle B +\angle BAP=180^{\circ} \Leftrightarrow 2\angle B + \angle BAP = 180^{\circ}$

7. $\angle BCD+\angle ADC = 180^{\circ} \Leftrightarrow \angle B+\angle ADC=180^{\circ}$

8. $\angle B = \angle ADC = \angle APB$より$\angle ADC = \angle APB$。

$\triangle ABC$で考えると$\angle BAC=\angle ACB$

$\triangle ABP$で考えると$\angle BAP+\angle APB+\angle ABP = 180^{\circ}$

仮定より、AB=AP。平行四辺形の対辺より、AB=DC。よってAP=DC

AD=DA

$\angle DAP = \angle ADC$

よって2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle APD \equiv \triangle DCA$

3. 最終的な答え

三角形APDと三角形DCAにおいて、

AP = DC (AB = AP, AB = DC より)

AD = DA (共通)

$\angle DAP = \angle DCA$ (錯角)

よって、二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle APD \equiv \triangle DCA$