円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=9cm, BC=12cm, CD=DA=6cmである。 (1) BE:EDを求める。 (2) △ABEと△DBCの面積の比を求める。 (3) 線分DEの長さを求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=9cm, BC=12cm, CD=DA=6cmである。

(1) BE:EDを求める。

(2) △ABEと△DBCの面積の比を求める。

(3) 線分DEの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) BE:EDを求める。

円周角の定理より、∠BAE = ∠BDE、∠ABE = ∠DBC。したがって、△ABE ∽ △DBCとなる。

△ABE ∽ △DBCより、BE:BC = AB:DB。

また、△ABDにおいて、AB=9、AD=6より、$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cos{\angle BAD}$。

同様に、△BCDにおいて、BC=12、CD=6より、$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cos{\angle BCD}$。

四角形ABCDは円に内接するので、∠BAD + ∠BCD = 180°。したがって、$\cos{\angle BCD} = -\cos{\angle BAD}$。

よって、$AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cos{\angle BAD} = BC^2 + CD^2 + 2 \cdot BC \cdot CD \cos{\angle BAD}$。

$9^2 + 6^2 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cos{\angle BAD} = 12^2 + 6^2 + 2 \cdot 12 \cdot 6 \cos{\angle BAD}$

$81 + 36 - 108 \cos{\angle BAD} = 144 + 36 + 144 \cos{\angle BAD}$

$81 - 144 = 252 \cos{\angle BAD}$

$\cos{\angle BAD} = \frac{-63}{252} = -\frac{1}{4}$

$BD^2 = 9^2 + 6^2 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{4}) = 81 + 36 + 27 = 144$

$BD = 12$

したがって、BE:BC = AB:BDより、BE:12 = 9:12。BE = $\frac{9}{12} \cdot 12 = 9$。

△ABE ∽ △DBCより、$\frac{BE}{BC} = \frac{AE}{DC} = \frac{AB}{DB} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$。

$\frac{AE}{6} = \frac{3}{4}$より、$AE = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$

$\frac{ED}{AE} = \frac{DC}{AB}$

$AE : DC = \frac{9}{2}:6 = \frac{9}{2}:\frac{12}{2} = 9:12=3:4$

$\frac{BE}{BC} = \frac{AB}{BD} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

$\frac{AE}{CD} = \frac{AB}{DB} = \frac{3}{4}$

$AE = \frac{3}{4} CD = \frac{3}{4} \cdot 6 = \frac{9}{2} = 4.5$

$BE : ED = AB : AD = 9:6=3:2$ではない

△ABE ∽ △DBCより、$\frac{BE}{AB}=\frac{BC}{CD}$

AD = DCより、$\angle DAC= \angle DCA$、$\angle BAC = \angle BDC$より、

四角形ABDは二等辺台形

$DE = x$

$BE= \frac{9}{12}\times DB$

$\frac{9}{\frac{BE}{ED}}=?$

$BE : ED = AB: AD = 9:6 = 3:2$

(2) △ABEと△DBCの面積の比を求める。

△ABE ∽ △DBCより、面積比は相似比の2乗に等しい。

$\frac{△ABE}{△DBC} = (\frac{AB}{DB})^2 = (\frac{9}{12})^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$

(3) 線分DEの長さを求める。

△ABE ∽ △DBCより、$AE:DC = BE:BC = AB:BD$。

$AB = 9$, $BC = 12$, $CD = 6$, $AD = 6$, $BD = 12$

$BE = 9$

$BE : ED = AB:AD = 9:6 = 3:2$

$ED = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$

3. 最終的な答え

(1) BE:ED = 3:2

(2) △ABE:△DBC = 9:16

(3) DE = 6 cm