$\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鈍角である。

1. 問題の内容

$\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ は鈍角である。

2. 解き方の手順

三角関数の基本公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用します。

$\sin \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$(\frac{1}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{9} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{9}$

$\cos^2 \theta = \frac{8}{9}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}}$

$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{8}}{3}$

$\cos \theta = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\theta$ は鈍角なので、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ です。

この範囲では、$\cos \theta < 0$ であるため、$\cos \theta = - \frac{2\sqrt{2}}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$