右図において、$AB=9$ cm, $BC=12$ cm, $CD=DA=6$ cmである。 (1) $BE:ED$を求める。 (2) $\triangle ABE$と$\triangle DBC$の面積の比を求める。 (3) 線分$DE$の長さを求める。

1. 問題の内容

右図において、$AB=9$ cm, $BC=12$ cm, $CD=DA=6$ cmである。

(1) $BE:ED$を求める。

(2) $\triangle ABE$と$\triangle DBC$の面積の比を求める。

(3) 線分$DE$の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $BE:ED$を求める。

円周角の定理より、$\angle BAE = \angle BDE$, $\angle ABE = \angle ADE$, $\angle ACB = \angle ADB$, $\angle BAC = \angle BDC$が成り立つ。

$\triangle ABE$と$\triangle DBC$において、

$\angle ABE = \angle CDB$

$\angle BAE = \angle BCD$

よって、$\triangle ABE \sim \triangle DBC$である。

$\triangle ABE \sim \triangle DBC$より、

$AB:DB = BE:BC = AE:DC$

$BE:BC = AB:DB$より、$BE = \frac{AB \cdot BC}{DB}$

$AE:DC = AB:DB$より、$AE = \frac{AB \cdot DC}{DB}$

$\triangle ADE$と$\triangle ABC$において、

$\angle DAE = \angle BAC$

$\angle ADE = \angle ACB$

よって、$\triangle ADE \sim \triangle ABC$である。

$AD:AC = DE:BC = AE:AB$

ここで、$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos(\angle ABC)}$

$DE = \frac{AD \cdot BC}{AC}$

$BE:ED = \frac{AB \cdot BC}{DB} : \frac{AD \cdot BC}{AC} = \frac{AB}{DB} : \frac{AD}{AC} = \frac{9}{DB} : \frac{6}{AC}$

四角形$ABCD$は円に内接しているので、トレミーの定理より、

$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$

$AC \cdot BD = 9 \cdot 6 + 12 \cdot 6 = 54 + 72 = 126$

$BE:ED = \frac{AB}{AD} \cdot \frac{AC}{BD} = \frac{AB}{AD} \cdot \frac{126}{AC \cdot AC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

より、$BE:ED = AB:AD = 9:6 = 3:2$

(2) $\triangle ABE$と$\triangle DBC$の面積の比を求める。

$\triangle ABE \sim \triangle DBC$より、面積比は相似比の2乗に等しい。

$AB:BC = 9:12 = 3:4$なので、面積比は$3^2:4^2 = 9:16$

(3) 線分$DE$の長さを求める。

$BE:ED = 3:2$より、$ED = \frac{2}{3}BE$

$\triangle ABE \sim \triangle DBC$なので、$AB:DB = BE:BC$

$BE = \frac{AB \cdot BC}{DB} = \frac{9 \cdot 12}{DB} = \frac{108}{DB}$

$DE = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3} \cdot \frac{108}{DB} = \frac{72}{DB}$

トレミーの定理より、$AC \cdot DB = AB \cdot CD + BC \cdot AD = 9 \cdot 6 + 12 \cdot 6 = 54 + 72 = 126$

$\angle ABC = \theta$とすると、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos{\theta} = 9^2 + 12^2 - 2 \cdot 9 \cdot 12 \cos{\theta} = 81 + 144 - 216\cos{\theta} = 225 - 216\cos{\theta}$

$\angle ADC = 180^\circ - \theta$なので、$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cos{(180^\circ - \theta)} = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 (-\cos{\theta}) = 36 + 36 + 72\cos{\theta} = 72 + 72\cos{\theta}$

$225 - 216\cos{\theta} = 72 + 72\cos{\theta}$

$153 = 288\cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{153}{288} = \frac{17}{32}$

$AC^2 = 72 + 72 \cdot \frac{17}{32} = 72 + \frac{17 \cdot 9}{4} = 72 + \frac{153}{4} = \frac{288 + 153}{4} = \frac{441}{4}$

$AC = \frac{21}{2}$

$\frac{21}{2} \cdot DB = 126$

$DB = \frac{126 \cdot 2}{21} = 6 \cdot 2 = 12$

$DE = \frac{72}{DB} = \frac{72}{12} = 6$

3. 最終的な答え

(1) $BE:ED = 3:2$

(2) $\triangle ABE : \triangle DBC = 9:16$

(3) $DE = 6$ cm