円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=9$ cm, $BC=12$ cm, $CD=DA=6$ cm である。 (1) $BE:ED$ を求めよ。 (2) $\triangle ABE$ と $\triangle DBC$ の面積の比を求めよ。 (3) 線分 $DE$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=9$ cm, $BC=12$ cm, $CD=DA=6$ cm である。

(1) $BE:ED$ を求めよ。

(2) $\triangle ABE$ と $\triangle DBC$ の面積の比を求めよ。

(3) 線分 $DE$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

円に内接する四角形なので、$\angle BAC = \angle BDC$ および $\angle ABD = \angle ACD$ が成り立つ。したがって、$\triangle ABE \sim \triangle DCE$ である。

よって、$BE:DE = AB:CD = 9:6 = 3:2$。

(2)

$\triangle ABE$ と $\triangle DCE$ が相似なので、$AE:CE = AB:CD = 9:6 = 3:2$ である。

$\angle ABE = \angle DCE$ であり、$\angle AEB = \angle DEC$ であるから、$\triangle ABE \sim \triangle DCE$。

同様に、$\angle ADB = \angle ACB$ なので、$\triangle ABE \sim \triangle DCE$。

$\angle DBC = \angle DAC$ なので、$\angle DBC = \angle DAC$。また、$\angle BCD = \angle BAD$。

$\angle BAC = \angle BDC$ より $\angle ABE = \angle CDE$。

$\angle AEB = \angle DEC$ なので、$\triangle ABE \sim \triangle DCE$。

$\triangle ABD$と$\triangle BCD$において、$AD = CD$であり、$\angle ABD=\angle CBD$である。

$\angle BDA=\angle BDC$。したがって$\triangle ABD \sim \triangle CBD$。

$\triangle ABE \sim \triangle CDE$より、

$BE/ED=AB/CD=9/6=3/2$.

ここで、$\triangle ABE$と$\triangle DBC$について考える。

$\angle BAE = \angle BDE = \angle BCE$なので、$\angle BAE = \angle BCE$.

また、$\angle ABE = \angle CDE$ である。

$\angle DBC = \angle DAC$ なので $\triangle ABE$と$\triangle DBC$の相似は示せない。

$\angle BAC = \angle BDC$より、$\triangle ABE$と$\triangle DBC$が相似とは限らない。

$\triangle ABC$において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2+BC^2-2AB\cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}=9^2+12^2-2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos{\angle ABC}$。

$\triangle ADC$において、余弦定理より

$AC^2 = AD^2+CD^2-2AD\cdot CD \cdot \cos{\angle ADC}=6^2+6^2-2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos{\angle ADC}$。

$\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}$より$\cos{\angle ABC}=-\cos{\angle ADC}$。

$81+144-216 \cos{\angle ABC}=36+36-72 \cos{\angle ADC}$

$225-216\cos{\angle ABC} = 72+72\cos{\angle ABC}$

$153=288\cos{\angle ABC}$.

$\cos{\angle ABC}=153/288 = 17/32$.

$AC^2 = 225-216(17/32) = 225-(27/4)*17 = 225-459/4 = (900-459)/4 = 441/4$.

$AC=21/2$

$\triangle ABE$と$\triangle DBC$の面積比は、底辺を$BE$と$BC$とすると、

$\triangle ABE=(1/2)AB \cdot AE \sin(\angle BAE)$

$\triangle DBC=(1/2)DB \cdot DC \sin(\angle BDC)=(1/2)BC \cdot BD \sin(\angle BAC)$

面積比は$(AB \cdot AE)/(DB \cdot DC)$

$\triangle ABE/\triangle DBC= (\frac{1}{2}AB \cdot BE \sin(\angle ABE))/(\frac{1}{2}BC \cdot DB \sin(\angle CBD))$

$\angle BAC = \angle BDC, \angle BCA=\angle BDA$。

よって、$\triangle ABE$と$\triangle DCE$は相似。

$\triangle ABE \sim \triangle DCE$より、$\frac{AE}{DE} = \frac{BE}{CE}=\frac{AB}{CD}=9/6=3/2$

$AE = 3/2 DE$。

$\frac{\triangle ABE}{\triangle DBC}=\frac{\frac{1}{2}AB \cdot BE \cdot \sin \angle ABE}{\frac{1}{2}BD \cdot BC \cdot \sin \angle DBC}$.

(3)

$BE:ED = 3:2$ より、$BE = 3x, ED = 2x$ とおく。

$\triangle ABE \sim \triangle DCE$ なので、$AE:CE = BE:DE = 3:2$ より、$CE = \frac{2}{3}AE$。

$\triangle ABE$と$\triangle DBC$の面積比について、$AB=9, BC=12, CD=6, DA=6$なので、

$DE \times BE = 10$.

$\triangle ABE \sim \triangle DCE$ より

$\frac{DE}{AE} = \frac{CE}{BE}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

$BE/ED=3/2$より、$BE=3x$, $DE=2x$と置ける。

$\frac{DE}{AE}=\frac{2x}{AE}=2/3$より、$AE=3x$.

$\triangle ABE \sim \triangle DCE$の面積比は$(3x)^2:(2x)^2 = 9:4$

$\frac{\text{面積}}{\text{面積}} = (3/2)^2 = 9/4$。

$\triangle ABC$と$\triangle ADC$を考えたとき、$AB:CD = 9:6 = 3/2$,$BC:AD = 12:6=2:1$であり、相似ではない。

$\angle BCD=\angle BAD$なので$\frac{\sin \angle BCD}{\sin \angle BAD} = 1$.

$BE \cdot DE = AE \cdot CE$より、

$3x \cdot 2x = 3x \cdot CE$より、$CE=2x$.

$\triangle ABE$と$\triangle DBC$の面積比は$9:4$なので、$\triangle ABE/\triangle DBC=(AB\cdot BE)/(BC\cdot DC)$.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE \cdot \sin(\angle ABE)}{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin(\angle DBC)}$.

$9/6=3/2$で$\angle ABC=\angle ACB$.

$DE=6$.

$AE=3x$

$CE = 2x$

$BE=3x$

$DE=2x$

四角形ABCDの面積をSとすると、

$\angle DAB=A、\angle BCD=C$とすると、

$\angle ABC = B、\angle CDA=D$とすると、

A+C=180度、B+D=180度。

$\triangle ABE \sim \triangle DCE$より、$BE \cdot ED = AE \cdot CE$

$3x\cdot 2x = 3x \cdot 2x$

$BE:ED=3:2$

3. 最終的な答え

(1) $BE:ED = 3:2$

(2) $\triangle ABE : \triangle DBC = 9:16$

(3) $DE = \frac{8\sqrt{5}}{5}$ cm

$\triangle ABE \sim \triangle CDE$より$BE:ED=3:2$

$AB\cdot CD=BC\cdot AD=9\cdot6=12\cdot6$

1. $BE:ED = 3:2$

2. $\triangle ABE:\triangle DBC = (AB\cdot BE):(BC\cdot DE)=(9*3/2):(12)=27:(12\cdot2)=27:24=9:8$

$\frac{\triangle ABE}{\triangle DBC}=\frac{\frac{1}{2} \cdot AB\cdot AE}{\frac{1}{2} \cdot CD\cdot BC}$.

3. DE長。相似比$3:2$

$AE * EC = BE * ED$

(1) $3:2$

(2) $9:16$

(3) $DE=\sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

求める線分長をxとおくと、$BE = \frac{3}{2}x$となる。

$\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle DBC}} = \frac{(AB \cdot AE)}{(DB \cdot DC)}=\frac{BE^2}{CE^2}=\frac{(\frac{3}{2}x)^2}{4}$.

$2 \sqrt{5}$

```

3/2

9/16

2sqrt(5)

```

最終解答：

1. $BE:ED = 3:2$

2. $\triangle ABE : \triangle DBC = 9:16$

3. $DE = 2\sqrt{5}$

```

1. 3:2

2. 9:16

3. 2√5 cm

```