$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ を 3 等分する点を $D, E$ とする。線分 $AE$ の中点を $F$ とし、直線 $BF$ と $AD, AC$ の交点をそれぞれ $G, H$ とする。また、$E$ から $BH$ に平行な直線をひき、$AC$ との交点を $I$ とする。このとき、$BG:FH$ を求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ を 3 等分する点を $D, E$ とする。線分 $AE$ の中点を $F$ とし、直線 $BF$ と $AD, AC$ の交点をそれぞれ $G, H$ とする。また、$E$ から $BH$ に平行な直線をひき、$AC$ との交点を $I$ とする。このとき、$BG:FH$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$EI$ が $BH$ に平行なので、$\triangle CEI$ と $\triangle CBH$ は相似である。

$EI // BH$ より、$EI:BH = CE:CB = 1:2$。

次に、$\triangle AFH$ と $\triangle EFI$ において、

$AF = FE$（$F$ は $AE$ の中点）、

$\angle AFH = \angle EFI$（対頂角）、

$\angle FAH = \angle FEI$（$BH // EI$ より、錯角）。

したがって、$\triangle AFH \equiv \triangle EFI$。

よって、$FH = FI$ となり、$EI = 2FH$。

$EI:BH = 1:2$ より、$2FH:BH = 1:2$。

したがって、$BH = 4FH$。

$BH = BF + FH$ より、$BF = BH - FH = 4FH - FH = 3FH$。

よって、$BF = 3FH$。

次に、$\triangle ADG$ と $\triangle CBG$ を考える。

メネラウスの定理より、

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CA}{AH} \cdot \frac{HF}{FB} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{AH+HC}{AH} \cdot \frac{HF}{3HF} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{HC}{AH}) \cdot \frac{1}{3} = 1$

$1 + \frac{HC}{AH} = 6$

$\frac{HC}{AH} = 5$

$\frac{AH}{AC} = \frac{1}{6}$

$\triangle ABF$ において、直線 $AD$ が $BF$ と $G$ で交わっているので、メネラウスの定理より、

$\frac{BG}{GF} \cdot \frac{FE}{EA} \cdot \frac{AD}{DB} = 1$

$\frac{BG}{GF} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{AD}{DB} = 1$

$\frac{BG}{GF} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{AG+GD}{DB} = 1$

$\triangle BDE$ において、直線 $BG$ が $AD$ と $G$ で交わっているので、メネラウスの定理より、

$\frac{BG}{GF} \cdot \frac{FA}{AE} \cdot \frac{EC}{CB} = 1$

$\frac{BG}{GF} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{BG}{GF} = 3$

$BG = 3GF$

$BF = BG + GF$ より、$3FH = 3GF + GF = 4GF$。

$GF = \frac{3}{4} FH$

$BG = 3GF = 3 \cdot \frac{3}{4} FH = \frac{9}{4} FH$

$BG:FH = \frac{9}{4} FH : FH = 9:4$

3. 最終的な答え

$BG:FH = 9:4$