原点O、直線 $y = \frac{1}{2}x$ および $y = 2x$ が与えられています。点Aは直線 $y = \frac{1}{2}x$ 上にあり、そのx座標は3です。点Cは直線 $y = 2x$ 上にあり、そのx座標は2です。四角形OABCが平行四辺形になるとき、以下の問いに答えます。 (1) 点Bの座標を求めなさい。 (2) 平行四辺形OABCの面積を求めなさい。

1. 問題の内容

原点O、直線 $y = \frac{1}{2}x$ および $y = 2x$ が与えられています。点Aは直線 $y = \frac{1}{2}x$ 上にあり、そのx座標は3です。点Cは直線 $y = 2x$ 上にあり、そのx座標は2です。四角形OABCが平行四辺形になるとき、以下の問いに答えます。

(1) 点Bの座標を求めなさい。

(2) 平行四辺形OABCの面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 点Bの座標を求める。

平行四辺形の性質より、$\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC}$ が成り立ちます。

まず、点Aの座標を求めます。点Aは直線 $y = \frac{1}{2}x$ 上にあり、x座標は3なので、$y = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}$。したがって、点Aの座標は $(3, \frac{3}{2})$ です。

次に、点Cの座標を求めます。点Cは直線 $y = 2x$ 上にあり、x座標は2なので、$y = 2 \times 2 = 4$。したがって、点Cの座標は $(2, 4)$ です。

$\vec{OA} = (3, \frac{3}{2})$、$\vec{OC} = (2, 4)$ であるから、

$\vec{OB} = (3 + 2, \frac{3}{2} + 4) = (5, \frac{3}{2} + \frac{8}{2}) = (5, \frac{11}{2})$

よって、点Bの座標は $(5, \frac{11}{2})$ です。

(2) 平行四辺形OABCの面積を求める。

平行四辺形OABCの面積は、ベクトル $\vec{OA}$ と $\vec{OC}$ で張られる平行四辺形の面積に等しく、これは $|\vec{OA} \times \vec{OC}|$ で計算できます。しかし、ここでは2次元ベクトルの外積を直接計算することは難しいので、別の方法を用います。

点A(3, 3/2), 点C(2, 4) より、

平行四辺形OABCの面積は、三角形OACの面積の2倍に等しい。三角形OACの面積は、座標を使って次のように計算できます。

三角形OACの面積 $= \frac{1}{2} |x_A y_C - x_C y_A| = \frac{1}{2} |3 \times 4 - 2 \times \frac{3}{2}| = \frac{1}{2} |12 - 3| = \frac{1}{2} \times 9 = \frac{9}{2}$

平行四辺形OABCの面積 $= 2 \times \frac{9}{2} = 9$

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標: $(5, \frac{11}{2})$

(2) 平行四辺形OABCの面積: $9$ cm$^2$