正三角形ABCの辺AB上に点D、辺BC上に点Eをとる。AEとCDの交点をFとする。$\angle AFD = 60^\circ$のとき、$AE = CD$となることを証明する。

幾何学三角形合同角度証明
2025/8/15

1. 問題の内容

正三角形ABCの辺AB上に点D、辺BC上に点Eをとる。AEとCDの交点をFとする。AFD=60\angle AFD = 60^\circのとき、AE=CDAE = CDとなることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、AFD=60\angle AFD = 60^\circより、CFE=60\angle CFE = 60^\circである。
また、ABC=BCA=60\angle ABC = \angle BCA = 60^\circであるから、BAF=180AFDAEF=18060AEF=120AEF\angle BAF = 180^\circ - \angle AFD - \angle AEF = 180^\circ - 60^\circ - \angle AEF = 120^\circ - \angle AEF となる。
同様に、BDC=180DBCBCD=18060BCD=120BCD\angle BDC = 180^\circ - \angle DBC - \angle BCD = 180^\circ - 60^\circ - \angle BCD = 120^\circ - \angle BCDとなる。
BAF+FAE=60\angle BAF + \angle FAE = 60^\circより、FAE=60BAF\angle FAE = 60^\circ - \angle BAFである。
BDC+DCA=60\angle BDC + \angle DCA = 60^\circより、DCA=60BDC\angle DCA = 60^\circ - \angle BDCである。
次に、ABE\triangle ABEBCD\triangle BCDに着目する。
正三角形なので、AB=BCAB = BCである。
BAE=BCE\angle BAE = \angle BCEを示す。
BAE=180BEAABE=180BEA60=120BEA\angle BAE = 180^\circ - \angle BEA - \angle ABE = 180^\circ - \angle BEA - 60^\circ = 120^\circ - \angle BEA
BCD=180CDBCBD=180CDB60=120CDB\angle BCD = 180^\circ - \angle CDB - \angle CBD = 180^\circ - \angle CDB - 60^\circ = 120^\circ - \angle CDB
ADF\triangle ADFにおいて、DAF+ADF=18060=120\angle DAF + \angle ADF = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
FCE=BCAACF=60ACF\angle FCE = \angle BCA - \angle ACF = 60^\circ - \angle ACF
EBC=ABCABE=60ABE\angle EBC = \angle ABC - \angle ABE = 60^\circ - \angle ABE
BAF+ABE=18060=120\angle BAF + \angle ABE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
DCA+BCE=18060=120\angle DCA + \angle BCE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
ここで、ABE\triangle ABECAD\triangle CADにおいて、
AB=CAAB=CA (正三角形ABCの辺)
ABE=CAD=60\angle ABE = \angle CAD = 60^\circ
BAE=ACD\angle BAE = \angle ACD (仮定より)
よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、ABECAD\triangle ABE \equiv \triangle CAD
したがって、AE=CDAE = CDとなる。

3. 最終的な答え

AE=CDAE=CD

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