2点 $A(-5, 6)$ と $B(3, 4)$ を直径の両端とする円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

2点 $A(-5, 6)$ と $B(3, 4)$ を直径の両端とする円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

円の方程式を求めるには、円の中心と半径が必要です。

ステップ1：円の中心を求める

円の中心は、直径の両端の中点になります。中点の公式を使って、中心の座標 $(h, k)$ を計算します。

$$h = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad k = \frac{y_1 + y_2}{2}$$

点Aと点Bの中点を計算すると、

$$h = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

$$k = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

したがって、円の中心は $(-1, 5)$ です。

ステップ2：円の半径を求める

円の半径 $r$ は、中心から直径の端点までの距離です。中心 $(-1, 5)$ と点 $A(-5, 6)$ の間の距離を計算することで、半径を求めることができます。距離の公式は以下の通りです。

$$r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

中心と点Aの距離を計算すると、

$$r = \sqrt{(-5 - (-1))^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$$

したがって、円の半径は $\sqrt{17}$ です。

ステップ3：円の方程式を書く

円の方程式は、中心 $(h, k)$ と半径 $r$ を用いて、次のように表されます。

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

中心 $(-1, 5)$ と半径 $\sqrt{17}$ を代入すると、

$$(x - (-1))^2 + (y - 5)^2 = (\sqrt{17})^2$$

$$(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 17$$

3. 最終的な答え

円の方程式は、

$(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 17$

です。