底面が台形で、高さが指定された四角錐の体積と表面積を求める問題です。

## 問題1 (1) の解答

1. 問題の内容

底面が台形で、高さが指定された四角錐の体積と表面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 体積の計算

まず、底面の台形の面積を計算します。台形の面積の公式は (上底 + 下底) x 高さ ÷ 2 です。図から、上底は6、下底は8、高さは6なので、台形の面積は

$S = (6+8) \times 6 \div 2 = 14 \times 3 = 42$

次に、四角錐の体積を計算します。四角錐の体積の公式は、底面積 x 高さ ÷ 3 です。図から、四角錐の高さは$\sqrt{43}$なので、体積は

$V = 42 \times \sqrt{43} \div 3 = 14\sqrt{43}$

(2) 表面積の計算

表面積は、底面の台形の面積に、4つの側面の三角形の面積を足したものです。

底面の台形の面積はすでに計算済みで、42です。

側面の三角形のうち、2つは合同で、底辺が8、高さが$2\sqrt{13}$です。これらの三角形の面積は、それぞれ $8 \times 2\sqrt{13} \div 2 = 8\sqrt{13}$なので、2つ分で $16\sqrt{13}$です。

残りの2つの三角形も合同で、底辺が6、高さが$2\sqrt{13}$です。これらの三角形の面積は、それぞれ $6 \times 2\sqrt{13} \div 2 = 6\sqrt{13}$なので、2つ分で $12\sqrt{13}$です。

したがって、表面積は $42 + 16\sqrt{13} + 12\sqrt{13} = 42 + 28\sqrt{13}$

3. 最終的な答え

体積: $14\sqrt{43}$

表面積: $42 + 28\sqrt{13}$

## 問題1 (2) の解答

1. 問題の内容

底面が正方形で、高さが指定された四角錐の体積と表面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 体積の計算

底面の正方形の面積は $6 \times 6 = 36$ です。

四角錐の高さは、側面の三角形の高さ15と底面の正方形の一辺の長さ6から、三平方の定理を使って求めます。正方形の対角線の半分は $6/2 = 3$ です。ピラミッドの中心から頂点までの高さをhとすると、 $h = \sqrt{15^2 - 3^2} = \sqrt{225 - 9} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$ 。

四角錐の体積は、底面積 x 高さ ÷ 3 なので、$36 \times 6\sqrt{6} \div 3 = 12 \times 6\sqrt{6} = 72\sqrt{6}$

(2) 表面積の計算

表面積は、底面の正方形の面積に、4つの側面の三角形の面積を足したものです。

底面の正方形の面積は36です。

側面の三角形は4つとも合同で、底辺が6、高さが15です。それぞれの三角形の面積は $6 \times 15 \div 2 = 45$ です。4つ分で $45 \times 4 = 180$ です。

したがって、表面積は $36 + 180 = 216$

3. 最終的な答え

体積: $72\sqrt{6}$

表面積: $216$

## 問題1 (3) の解答

1. 問題の内容

底面が正方形で、辺と側面が指定された四角錐の体積と表面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 体積の計算

底面の正方形の面積は$(8\sqrt{2})^2= 64 \times 2=128$です。

ピラミッドの中心から頂点までの高さをhとすると、 $h = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{128 -32} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$

四角錐の体積は、底面積 x 高さ ÷ 3 なので、$128 \times 4\sqrt{6} \div 3 = 512\sqrt{6}/3$

(2) 表面積の計算

表面積は、底面の正方形の面積に、4つの側面の三角形の面積を足したものです。

底面の正方形の面積は128です。

側面の三角形は4つとも合同で、底辺が$8\sqrt{2}$、高さが$8\sqrt{2}$です。それぞれの三角形の面積は $8\sqrt{2} \times 8\sqrt{2} \div 2 = 64$ です。4つ分で $64 \times 4 = 256$ です。

したがって、表面積は $128 + 256 = 384$

3. 最終的な答え

体積: $512\sqrt{6}/3$

表面積: $384$