四角形ABCDにおいて、線分ACと線分BDの交点をPとする。$\angle DAC = \angle CBD$, $AC = 8$, $AP = 2$, $PD = 4$のとき、$BD$の長さを求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、線分ACと線分BDの交点をPとする。$\angle DAC = \angle CBD$, $AC = 8$, $AP = 2$, $PD = 4$のとき、$BD$の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$PC$の長さを求める。$AC = AP + PC$より、$PC = AC - AP = 8 - 2 = 6$となる。

$\triangle APD$と$\triangle CPB$において、

$\angle DAC = \angle CBD$より、$\angle PAD = \angle PCB$。

また、$\angle APD = \angle CPB$（対頂角）である。

したがって、$\triangle APD \sim \triangle CPB$。

相似な三角形の辺の比は等しいので、

$AP:CP = DP:BP$

$2:6 = 4:BP$

$2 \cdot BP = 6 \cdot 4$

$2 \cdot BP = 24$

$BP = 12$

$BD = BP + PD = 12 + 4 = 16$

3. 最終的な答え

$BD = 16$