一辺が12cmの正方形ABCDを底面とし、2辺が11cmの二等辺三角形EBA, FCB, GDC, HADを側面とする四角錐の体積と側面積を求める。

1. 問題の内容

一辺が12cmの正方形ABCDを底面とし、2辺が11cmの二等辺三角形EBA, FCB, GDC, HADを側面とする四角錐の体積と側面積を求める。

2. 解き方の手順

* **体積を求める**

* 四角錐の高さを求める。底面の正方形の中心をO、頂点をEとし、EOの高さを求める。AOは正方形の対角線の半分なので、

$AO = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

* 三角形EAOに注目すると、三平方の定理より、

$EO = \sqrt{EA^2 - AO^2} = \sqrt{11^2 - (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{121 - 72} = \sqrt{49} = 7$

* 四角錐の体積Vは、

$V = \frac{1}{3} \times (\text{底面積}) \times (\text{高さ}) = \frac{1}{3} \times (12^2) \times 7 = \frac{1}{3} \times 144 \times 7 = 48 \times 7 = 336$

* **側面積を求める**

* 側面積は二等辺三角形EBA, FCB, GDC, HADの面積の合計である。二等辺三角形の面積は、底辺 × 高さ ÷ 2 で求められる。

* 二等辺三角形の高さを求める。二等辺三角形EBAの底辺の中点をMとすると、AM=6cm。三角形EMAに注目すると、三平方の定理より、EM（高さ）は、

$EM = \sqrt{EA^2 - AM^2} = \sqrt{11^2 - 6^2} = \sqrt{121 - 36} = \sqrt{85}$

* したがって、二等辺三角形の面積は、

$\frac{1}{2} \times 12 \times \sqrt{85} = 6\sqrt{85}$

* 側面積Sは、

$S = 4 \times 6\sqrt{85} = 24\sqrt{85}$

3. 最終的な答え

体積: 336 cm$^3$

側面積: $24\sqrt{85}$ cm$^2$